Bài 104396

Question

Cho hệ tọa độ đề các

$Oxyz$ . Trên các nửa trục tọa độ

$Ox, Oy, Oz$ lấy các điểm tương ứng

$A(2a;0;0) B(0;2b;0) C(0;0;c)$ với

$a > 0; b > 0; c > 0.$

$1$ . Tính khoảng cách từ

$O$ đến mặt phẳng (

$ABC$ ) theo

$a, b, c.$

$2$ . Tính thể tích khối đa diện

$OABE$ theo

$a, b, c$ trong đó

$E$ là chân đường cao

$AE$ trong tam giác

$ABC.$

score 0 · Answer 1

$1.$
Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phẳng

$(ABC)$ là:

$\frac{x}{2a}+\frac{y}{2b}\frac{z}{2c}=1$ hay

$bcx+acy+2abz-2abc=0$
Khoảng cách từ

$O(0;0;0)$ đến

$(ABC)$ là:

$h=\frac{2abc}{\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+4a^2b^2}}$

$2.$
Ta có

$\underset{BC}{\rightarrow}=(0;-2b;c)\Rightarrow$ phương trình tham số của
đường thẳng

$BC$ là

$\begin{cases}x=0 \\ y=2b-2bt \\z=ct\end{cases}$
Vậy có

$E(0;2b-2bt;ct)$
và

$\underset{OE}{\rightarrow}=(-2a;2b-2bt;ct)$ vì

$AE \bot BC$ nên

$OE \bot BC$ (định lý

$3$ đường vuông góc)
do đó

$\underset{OE}{\rightarrow}.\underset{BC}{\rightarrow}=0\Leftrightarrow -2b(2b-2bt)+c^2t=0\Leftrightarrow t=\frac{4b^2}{4b^2+c^2}$
Ta được

$\underset{AE}{\rightarrow}=(-2a;\frac{2bc^2}{4b^2+c^2};\frac{4b^2c}{4b^2+c^2})$
Mặt khác, ta có

$\underset{AB}{\rightarrow}=(-2a;2b;0)$

$[\underset{AB}{\rightarrow},\underset{AE}{\rightarrow}]=(\frac{8b^3c}{4b^2+c^2};\frac{8ab^2c}{4b^2+c^2};\frac{16ab^3}{4b^2+c^2})$ . Do đó :

$S_{\Delta ABE}=\frac{1}{2}[\underset{AB}{\rightarrow},\underset{AE}{\rightarrow}]=\frac{4b^2}{4b^2+c^2}.\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+4a^2b^2}$ .
Vậy

$V_{OABE}=\frac{1}{3}h.S_{\Delta ABE}=\frac{8acb^3}{3(4b^2+c^2)}$ .
Lưu ý : Nếu không sử dụng phương pháp véc tơ, ta có thể chứng minh rằng

$V_{OABE}=\frac{OA.OC.OB^3}{6(OB^2+OC^2)}$ .
Thay

$OA=2a, OB=2b; OC=c$ ta cũng được kết quả như trên

1 Đáp án