|
|
Ta có:
Viết f(x)=9(2x−1)2(2x+1)2+3P2x−12x+1+q
Đặt t=2x−12x+1 Với −1≤x≤1⇒−13≤t≤13
F(x)=9t2+3Pt+q⇒F/(x)=18t+3PF/(x)=0⇔t=−P6
Hàm số F(x)=9t2+3Pt+q nghịch biến trong (−∞,−P6) và đồng biến trong (−P6,+∞)
a)−P6≤−13⇔P≥2
Hàm số tăng trên [−13,13] nên
M=Max−1≤x≤1|f(x)|=Max−13≤x≤13|F(x)|=Max[|F(−13)|,|F(13)|]
M nhỏ nhất khi F(13)=−F(−13)⇔1+P+q=−(1−P+q)
⇔q=−1⇒M=|P|. Do P≥2nên min
Với {\rm P} \ge 2 thì \min M = 2khi {\rm P} = 2,\,\,q = - 1
b)\,\,\, - \frac{1}{3} \le - \frac{{\rm P}}{6} \le 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,0 \le \,{\rm P} \le \,2
\,\,\,\,\,M = \mathop {Max}\limits_{} \left[ {\left| {F\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)} \right|,\left| {F\left( { - \frac{{\rm P}}{6}} \right)} \right|} \right] nhỏ nhất khi
F\left( {\frac{1}{3}} \right) = - F\left( { - \frac{{\rm P}}{6}} \right)\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,1 + {\rm P} + q = - \left( {q - \frac{{{{\rm P}^2}}}{4}} \right)
\Leftrightarrow \,\,\,{\left( {{\rm P} - 2} \right)^2}\,\,8\left( {1 + q} \right), từ đó: M = 1 + {\rm P} + q = {\rm P} + \frac{{{{\left( {{\rm P} - 2} \right)}^2}}}{8} = \frac{{{{\left( {{\rm P} + 2} \right)}^2}}}{8}
M nhỏ nhất khi {\rm P} = 0\,\,\,và \min \,M\, = \frac{1}{2}
{\rm P} = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,\,q = - \frac{1}{2}
c)\,\,\,0 \le - \frac{{\rm P}}{6} \le \frac{1}{3}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, - 2 \le {\rm P} \le 0
Tương tự như trường hợp b) ta có:
\min \,M = \frac{1}{2},\,\,\,{\rm P} = 0,\,\,q = - \frac{1}{2}
d)\,\,\,\frac{1}{3} \le - \frac{{\rm P}}{6}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\rm P} \le - 2
Tương tự như trường hợp a) ta có : \min \,M = 2,\,\,\,{\rm P} = - 2,\,\,q = - 1
Từ 4 trường hợp trên ta suy ra:
- Khi {\rm P} = 0,\,\,q = - \frac{1}{2} thì \mathop {Max}\limits_{ - \frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3}} \left| {F\left( x \right)} \right| = \mathop {Max}\limits_{ - 1 \le x \le 1} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{1}{2}
|