Bài 103361

Question

Cho $n \in N,n \geq 1,a_{i}>0,i=1,2,...,n$.Hãy chứng minh:
$(a_{1}+a_{2}+...+a_{n}).(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}) \geq n^{2}$

score 0 · Answer 1

*$n=1: a_{1}.\frac{1}{a_{1}}=1^{2}:$ BĐT luôn đúng
*$n=k \in N(k\geq 2):$ giả sử BĐT đúng,tức là:
$(a_{1}+a_{2}+...+a_{k}).(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{k}}) \geq k^{2}$
*$n=k+1$
Xét:
$(a_{1}+a_{2}+...+a_{k+1}).(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{k+1}})= $
$=(a_{1}+a_{2}+...+a_{k}).(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{k}})+(a_{1}+a_{2}+...+a_{k}).\frac{1}{a_{k+1}}+$
$+a_{k+1}.(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{k}})+1$
$\geq k^{2}+(\frac{a_{1}}{a_{k+1}}+\frac{a_{k+1}}{a_{1}})+(\frac{a_{2}}{a_{k+1}}+\frac{a_{k+1}}{a_{2}})+...+(\frac{a_{k}}{a_{k+1}}+
\frac{a_{k+1}}{a_{k}})+1$
$\geq k^{2}+2.k+1=(k+1)^{2}$( Theo BĐT Côsi)
$\Rightarrow$ BĐT đúng với $n=k+1$
$\Rightarrow $(ĐPCM)

Bài 103361

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103361

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan