1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến $A(n)$ là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của biến $n$, ta thực hiện hai bước sau:
· Bước 1: (bước có sở, hay bước khởi đầu). Chứng minh $A(n)$là một mệnh đề đúng khi $n = 1$.
· Bước 2: ( bước quy nạp với giả thiết quy nạp). Với $k$ là một số nguyên dương tùy ý, xuất phát từ giả thiết $A(n)$ là một mệnh đề đúng khi $n = k$, chứng minh $A(n)$ cũng là một mệnh đề đúng khi $n = k + 1$.
2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
${1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}$ (3)
Giải: ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.
+ Với $n = 1$, ta có
${1^3} = 1 = \frac{{{1^2}{{(1 + 1)}^2}}}{4}$
Như vậy (3) đúng khi $n = 1$
+ Giả sử (3) đúng khi $n = k,k \in {\mathbb{N}^*}$, tức là
${1^3} + {2^3} + ... + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}$
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có
$\begin{gathered}
{1^3} + {2^3} + ... + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4} + {(k + 1)^3} = \frac{{{{(k + 1)}^2}}}{4}.({k^2} + 4k + 4) \\
= \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4} \\
\end{gathered} $
Vậy (3) đúng với mọi số nguyên dương n.
· CHÚ Ý: Bài toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến $A(n)$là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương $n \geqslant p$, trong đó $p$là một số nguyên dương cho trước.
· Để giải quyết bài toán đặt ra bằng phương pháp quy nạp, ở bước 1 ta cần chứng minh $A(n)$là mệnh đề đúng khi $n = p$ và ở bước 2, cần xét giả thiết quy nạp với $k$là số nguyên dương tùy ý lớn hơn hoặc bằng p.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geqslant 3$, ta luôn có
$${2^n} > 2n + 1$$
Giải: Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp:
+ Với n=3, ta có
${2^n} = {2^3} = 8$ và $2n + 1 = 2.3 + 1 = 7$.
Rõ ràng 8 > 7, và do đó (4) đúng khi $n = 3$.
+ Giả sử (4) đúng khi $n = k,k \in {\mathbb{N}^*}$và $k \geqslant 3$, tức là
$${2^k} > 2k + 1$$,
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi $n = k + 1$, tức là
$${2^{k + 1}} > 2(k + 1) + 1$$
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có
$${2^{k + 1}} = {2.2^k} > 2(2k + 1) = 4k + 2 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1$$
Vậy (4) đúng với mọi số nguyên dương $n \geqslant 3$
|