Phương pháp quy nạp toán học
Là một phương pháp toán để chứng minh mệnh đề chứa biến $A(n)$ là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương của biến $n \,\,\,\,(n \geq p)$, ta thực hiện hai bước sau:
• Bước 1: (bước có sở, hay bước khởi đầu). Chứng minh $A(n)$ là một mệnh đề đúng khi $n = p$.
• Bước 2: ( bước quy nạp với giả thiết quy nạp). Với $k$ là một số nguyên dương tùy ý $(k \geq p)$, xuất phát từ giả thiết $A(n)$ là một mệnh đề đúng khi $n = k$, chứng minh $A(n)$ cũng là một mệnh đề đúng khi $n = k + 1$.
Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
${1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}$ (3)
Giải: ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.
+ Với $n = 1$, ta có
${1^3} = 1 = \frac{{{1^2}{{(1 + 1)}^2}}}{4}$
Như vậy (3) đúng khi $n = 1$
+ Giả sử (3) đúng khi $n = k,k \in {\mathbb{N}^*}$, tức là
${1^3} + {2^3} + ... + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}$
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có
$\begin{gathered}
{1^3} + {2^3} + ... + {k^3} + {(k + 1)^3} = \frac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4} + {(k + 1)^3} = \frac{{{{(k + 1)}^2}}}{4}.({k^2} + 4k + 4) \\
= \frac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4} \\
\end{gathered} $
Vậy (3) đúng với mọi số nguyên dương n.
|