Bài 102901

Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $y = \sqrt {{x^2} - 2px + 2{p^2}} + \sqrt {{x^2} - 2qx + 2{q^2}} $
Trong đó $p,q$ là hai số khác nhau cho trước

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 3:41:40 PM

Ta có $y = \sqrt {{{\left( {x - p} \right)}^2} + {p^2}} + \sqrt {{{\left( {x - q} \right)}^2} + {q^2}} $
Trên mặt phẳng tọa độ lấy hai điểm $A\left( {p;p} \right)$ và $B\left( {q;q} \right)$.
Bài toán trở thành : tìm điểm $M\left( {x;0} \right) \in {\rm{Ox}}$ sao cho $\left( {MA + MB} \right)$ nhỏ nhất. Để ý rằng $A,O,B$ luôn thẳng hàng.
Xét hai trường hợp :
-    Nếu $pq \le 0:A$ hoặc $B$ trùng $O$ ; hoặc $A, B$ nằm khác phía đối với $O$. Khi đó $ MA+MB \ge AB \Rightarrow \left( {MA + MB} \right)$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow M \equiv O \Leftrightarrow M\left( {0;0} \right)$
Tức là ${y_{\min }} = \sqrt {2{p^2}} + \sqrt {2{q^2}} = \left( {|p| + |q|} \right)\sqrt 2 $ khi $x = 0$.
-    Nếu $pq > 0:A,B$nằm cùng phía đối với $O$. Lấy $A’$ đối xứng với $A$ qua $Ox$, ta có $A'\left( {p; - p} \right)$.
$\left( {MA + MB} \right)$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow A',M,B$ thẳng hàng.
Điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $A'B$ đi qua $ A'(p, -p)$ và $B(q, q)$ nên có phương trình $\frac{x-p}{q-p}=\frac{y+p}{q+p}$ và trục $Ox$ có phương trình $y=0$ do đó $M\left( {\frac{{2pq}}{{p + q}};0} \right)$
Vậy ${y_{\min }} = A'B = \sqrt {{{\left( {p - q} \right)}^2} + {{\left( {p + q} \right)}^2}} = \sqrt {2\left( {{p^2} + {q^2}} \right)} $ khi $x = \frac{{2pq}}{{p + q}}$.
Tóm lại :
-    Nếu $pq \le 0$ thì ${y_{\min }} = \left( {|p| + |q|} \right)\sqrt 2 $ khi $x = 0$.
-    Nếu $pq > 0$ thì ${y_{\min }} = \sqrt {2\left( {{p^2} + {q^2}} \right)} $ khi $x = \frac{{2pq}}{{p + q}}$

Bài 102901

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102901

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan