Bài 102901

Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$y = \sqrt {{x^2} - 2px + 2{p^2}} + \sqrt {{x^2} - 2qx + 2{q^2}}$
Trong đó

$p,q$ là hai số khác nhau cho trước

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/4/2012 3:41:40 PM

Ta có

$y = \sqrt {{{\left( {x - p} \right)}^2} + {p^2}} + \sqrt {{{\left( {x - q} \right)}^2} + {q^2}}$
Trên mặt phẳng tọa độ lấy hai điểm

$A\left( {p;p} \right)$ và

$B\left( {q;q} \right)$ .
Bài toán trở thành : tìm điểm

$M\left( {x;0} \right) \in {\rm{Ox}}$ sao cho

$\left( {MA + MB} \right)$ nhỏ nhất. Để ý rằng

$A,O,B$ luôn thẳng hàng.
Xét hai trường hợp :
- Nếu

$pq \le 0:A$ hoặc

$B$ trùng

$O$ ; hoặc

$A, B$ nằm khác phía đối với

$O$ . Khi đó

$MA+MB \ge AB \Rightarrow \left( {MA + MB} \right)$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow M \equiv O \Leftrightarrow M\left( {0;0} \right)$
Tức là

${y_{\min }} = \sqrt {2{p^2}} + \sqrt {2{q^2}} = \left( {|p| + |q|} \right)\sqrt 2$ khi

$x = 0$ .
- Nếu

$pq > 0:A,B$ nằm cùng phía đối với

$O$ . Lấy

$A’$ đối xứng với

$A$ qua

$Ox$ , ta có

$A'\left( {p; - p} \right)$ .

$\left( {MA + MB} \right)$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow A',M,B$ thẳng hàng.
Điểm

$M$ là giao điểm của đường thẳng

$A'B$ đi qua

$A'(p, -p)$ và

$B(q, q)$ nên có phương trình

$\frac{x-p}{q-p}=\frac{y+p}{q+p}$ và trục

$Ox$ có phương trình

$y=0$ do đó

$M\left( {\frac{{2pq}}{{p + q}};0} \right)$
Vậy

${y_{\min }} = A'B = \sqrt {{{\left( {p - q} \right)}^2} + {{\left( {p + q} \right)}^2}} = \sqrt {2\left( {{p^2} + {q^2}} \right)}$ khi

$x = \frac{{2pq}}{{p + q}}$ .
Tóm lại :
- Nếu

$pq \le 0$ thì

${y_{\min }} = \left( {|p| + |q|} \right)\sqrt 2$ khi

$x = 0$ .
- Nếu

$pq > 0$ thì

${y_{\min }} = \sqrt {2\left( {{p^2} + {q^2}} \right)}$ khi

$x = \frac{{2pq}}{{p + q}}$

Bài 102901

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102901

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan