Bài 102462

Question

Cho tam giác

$ABC$ có

$AM$ là trung tuyến. Gọi

${r_1},{r_2},{R_1},{R_2}$ tương ứng là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác

$ABM,ACM$ . CMR

$ABC$ là tam giác cân nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện :

$1/$

$\frac{1}{{{r_1}}} + \frac{1}{{{r_2}}} - \frac{2}{r} = \frac{4}{a}$

$2/$

${R_1} + {R_2} = 2R\cos \frac{A}{2}$

score 0 · Answer 1

$1/$ Ta có

$\frac{4}{a} = \frac{{2{h_a}}}{S}$
Vì trong mọi tam giác

$ABC$ có

${h_a} \le {m_a}$ ,do đó

$\frac{4}{a} \le \frac{{2{m_a}}}{S} (1)$
Vì

$\frac{{a + b + c}}{S} = \frac{{2p}}{{pr}} = \frac{2}{r}$ ,nên từ (

$1$ ) ta có

$\frac{4}{a} \le \frac{{2{m_a}}}{S} + (\frac{{a + b + c}}{S} - \frac{2}{r})$
Hay

$\frac{4}{a} \le \frac{{\frac{a}{2} + c + {m_a}}}{S} + \frac{{\frac{a}{2} + b + {m_a}}}{S} - \frac{2}{r} (2)$
Dấu “

$=$ ” xảy ra khi

${m_a} = {h_a}$
Trong tam giác

$AMC$ có

$\frac{{\frac{a}{2} + c + {m_a}}}{S} = \frac{{\frac{a}{2} + c + {m_a}}}{{2S}} = \frac{1}{{{r_2}}} (3)$
(áp dụng công thức S=pr)
Tương tự

$\frac{{\frac{a}{2} + m + {m_a}}}{S} = \frac{1}{{{r_1}}} (4)$
Từ (

$2)(3)(4)$ suy ra

$\frac{4}{a} \le \frac{1}{{{r_1}}} + \frac{1}{{{r_2}}} - \frac{2}{r} (5)$
Dấu “

$=$ ” trong (

$5$ ) xảy ra khi có dấu “

$=$ ” trong (

$2$ ),tức

${h_a} = {m_a}$
Từ giả thiết suy ra trong (

$5$ ) co dấu “

$=”$
Từ đó suy ra

$DPCM$

$2/$ áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác

$ABM$ và

$AMC$ có

${R_1} = \frac{{BM}}{{2\sin {A_1}}} = \frac{a}{{4\sin {A_1}}};{R_2} = \frac{{MC}}{{2\sin {A_2}}} = \frac{a}{{4\sin {A_2}}}$
(ở đây

$\widehat {BAM} = {A_1};\widehat {CAM} = {A_2}$ )
Theo bất đẳng thức Cosi,ta có :

${R_1} + {R_2} = \frac{a}{4}(\frac{1}{{\sin {A_1}}} + \frac{1}{{\sin {A_2}}}) \ge \frac{a}{{2\sqrt {\sin {A_1}\sin {A_2}} }} \ge \frac{a}{{\sin {A_1} + \sin {A_2}}} (1)$
Dấu “

$=$ ” xảy ra khi

${A_1} = {A_2}$
Lại có :

$\frac{a}{{\sin {A_1} + \sin {A_2}}} = \frac{{2R.2\sin \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{A}{2}}}{{2\sin \frac{{{A_1} + {A_2}}}{2}c{\rm{os}}\frac{{{A_1} - {A_2}}}{2}}} = \frac{{2R\cos \frac{A}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{{{A_1} - {A_2}}}{2}}}$
Từ đó đi đến

$\frac{a}{{\sin {A_1} + \sin {A_2}}} \ge 2R\cos \frac{A}{2} (2)$
Dấu “

$=$ ” xảy ra khi

${A_1} = {A_2}$
Từ

$(1)(2)$ ta có

${R_1} + {R_2} \ge 2R\cos \frac{A}{2} (3)$
Dấu “

$=$ ” trong (

$3$ ) xảy ra khi có dấu “

$=$ ” trong

$(1)(2)$ ,tức

$\begin{array}{l} {A_1} = {A_2} \Leftrightarrow {m_a} = {l_a}\\ \end{array}$

$\Leftrightarrow ABC$ là tam giác cân
Từ giả thiết suy ra trong (

$3$ ) có dấu “=”,suy ra

$DPCM$

Bài 102462

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102462

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan