Bài 104949

Question

Chứng minh rằng trong mọi tam giác tổng ba đường trung tuyến nhỏ hơn chu vi nhưng lớn hơn

$\frac{3}{4}$ chu vi của tam giác

score 0 · Answer 1

Ta có đường trung tuyến

$AM=m_a; BN=m_b; CP=c$
Kéo dài đường trung tuyếnBN một đoạn

$ND=BN=m_b$
a) Từ

$\Delta ABD$ ta có:

$DB<AB+AD$ hay

$2m_b<a+c$ , tức là

$m_b<\frac{a+c}{2}$

Tương tự :

$m_c<\frac{a+b}{2} ; m_a<\frac{b+c}{2}$
Cộng các bất đẳng thức này được:

$m_a+m_b+m_c<a+b+c=2p$
b) Từ

$\Delta ABO$ ta có:

$AOBO>AB$
hay

$\frac{2}{3}(m_a+m_b)>c$ , tức là:

$m_a+m_b>\frac{3}{2}c$
Tương tự

$m_b+m_c>\frac{3}{2}a ; m_c+m_a>\frac{3}{2}b$
Cộng các bất đẳng thức này ta được:

$2(m_a+m_b+m_c)>\frac{3}{2}(a+b+c)$
hay

$m_a+m_b+m_c>\frac{3}{4}.2p$
Vậy

$\frac{3}{4}.2p<m_a+m_b+m_c<2p$

1 Đáp án