Bài 102386

Question

Cho hàm số $y = \frac{{m{x^2} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + 4{m^3} + m}}{{x + m}}\left( {{C_m}} \right)$
$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = -1$
$2$. Tìm các giá trị của $m$ để $\left( {{C_m}} \right)$có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ $(II)$ và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ $(IV)$ của mặt phẳng tọa độ

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 5:25:00 PM

$1$. Bạn đọc tự giải

$2$. Ta có:
$y' = \frac{{m{x^2} + 2{m^2}x - 3{m^3}}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow m{x^2} + 2{m^2}x - 3{m^3} = 0    \left( 1 \right)$
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $– m$.
Với $m \ne 0$ phương trình $(1)$ tương đương với $f\left( x \right) = {x^2} + 2mx - 3{m^2} = 0$
Vì $f\left( 0 \right) = - 3{m^2} < 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm thỏa mãn: ${x_1} < 0 < {x_2}$
$f\left( { - m} \right) = - 4{m^2} \ne 0 \Rightarrow {x_1},{x_2} \ne- m$
Vậy với $\forall m \ne 0$, hàm số luôn có cực đại, cực tiểu tại ${x_1},{x_2}$ với ${x_1} < 0 < {x_2}$

Các điểm cực đại, cực tiểu thuộc góc phần tư thứ (II) và (IV) tương đương với hai điều kiện sau được thỏa mãn:
- Hệ số góc của tiệm cận xiên nhỏ hơn $0$ $ \Leftrightarrow m < 0    \left( 2 \right)$
- Đồ thị không cắt trục hoành (phương trình $y = 0$) hay phương trình:
$m{x^2} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + 4{m^3} + m = 0$ vô nghiệm
Với $m \ne 0$ có $\Delta = {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} - 4m\left( {4{m^3} + m} \right) = - 15{m^4} - 2{m^2} + 1$
$\Delta < 0 \Leftrightarrow 15{m^4} + 2{m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow |m| > \frac{1}{{\sqrt 5 }}     \left( 3 \right)$
Kết hợp $(2)$ và $(3)$ ta được $m < - \frac{1}{{\sqrt 5 }}$

Bài 102386

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102386

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan