Bài 102386

Question

Cho hàm số

$y = \frac{{m{x^2} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + 4{m^3} + m}}{{x + m}}\left( {{C_m}} \right)$

$1$ . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi

$m = -1$

$2$ . Tìm các giá trị của

$m$ để

$\left( {{C_m}} \right)$ có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ

$(II)$ và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ

$(IV)$ của mặt phẳng tọa độ

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 5:25:00 PM

$1$ . Bạn đọc tự giải

$2$ . Ta có:

$y' = \frac{{m{x^2} + 2{m^2}x - 3{m^3}}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow m{x^2} + 2{m^2}x - 3{m^3} = 0 \left( 1 \right)$
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi

$(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác

$– m$ .
Với

$m \ne 0$ phương trình

$(1)$ tương đương với

$f\left( x \right) = {x^2} + 2mx - 3{m^2} = 0$
Vì

$f\left( 0 \right) = - 3{m^2} < 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm thỏa mãn:

${x_1} < 0 < {x_2}$

$f\left( { - m} \right) = - 4{m^2} \ne 0 \Rightarrow {x_1},{x_2} \ne- m$
Vậy với

$\forall m \ne 0$ , hàm số luôn có cực đại, cực tiểu tại

${x_1},{x_2}$ với

${x_1} < 0 < {x_2}$

Các điểm cực đại, cực tiểu thuộc góc phần tư thứ (II) và (IV) tương đương với hai điều kiện sau được thỏa mãn:
- Hệ số góc của tiệm cận xiên nhỏ hơn

$0$

$\Leftrightarrow m < 0 \left( 2 \right)$
- Đồ thị không cắt trục hoành (phương trình

$y = 0$ ) hay phương trình:

$m{x^2} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + 4{m^3} + m = 0$ vô nghiệm
Với

$m \ne 0$ có

$\Delta = {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} - 4m\left( {4{m^3} + m} \right) = - 15{m^4} - 2{m^2} + 1$

$\Delta < 0 \Leftrightarrow 15{m^4} + 2{m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow |m| > \frac{1}{{\sqrt 5 }} \left( 3 \right)$
Kết hợp

$(2)$ và

$(3)$ ta được

$m < - \frac{1}{{\sqrt 5 }}$

Bài 102386

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102386

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan