Bài 102384

Question

Trong không gian cho đường $\left( {{D_m}} \right)$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
x - my + z - m = 0\\
mx + y - mz - 1 = 0
\end{array} \right.$
$1$. Viết phương trình hình chiếu $\left( {{\Delta _m}} \right)$ của $\left( {{D_m}} \right)$ lên mặt phẳng $Oxy$
$2$. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, đường thẳng $\left( {{\Delta _m}} \right)$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định trong mặt phẳng $Oxy$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 5:21:53 PM

$1$. $\left( {{D_m}} \right)$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow v = \left( {{m^2} - 1,2m,1 + {m^2}} \right)$
Mặt phẳng $(E)$ qua $\left( {{D_m}} \right)$có phương trình dạng: $\lambda \left( {x - my + z - m} \right) + \mu \left( {mx + y - mz - 1} \right) = 0 \left( {\lambda\mu \ne 0} \right)$
Mặt phẳng $(E)$ vuông góc với $Oxy$ khi và chỉ khi hệ số của $z$, tức là $\lambda - m\mu $ triệt tiêu. Chọn $\mu = 1,\lambda = m$ thì $(E)$ có phương trình $2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y - \left( {1 + {m^2}} \right) = 0$
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y - \left( {1 + {m^2}} \right) = 0\\
z = 0
\end{array} \right.$
chính là phương trình hình chiếu ${\Delta _m}$

$2$. Phương trình ${\Delta _m}$đối với hệ tọa độ $Oxy$ là:
${2mx + (1 - {m^2}})y - {m^2} - 1 = 0$
Có $d\left( {{M_0},\Delta_m} \right) = \frac{{|2m{x_0} + \left( {1 - {m^2}} \right){y_0} - {m^2} - 1|}}{{{m^2} + 1}}$
Nếu lấy $\left( {{x_0} = 0,{y_0} = 0} \right)$ thì $d\left( {{M_0},\Delta m} \right) = 1$,
Như vậy, $\forall m$ ${\Delta _m}$ tiếp xúc với đường tròn cố định tâm $O$, bán kính $1$ trong mặt phẳng $Oxy$.

Bài 102384

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102384

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan