Bài 102347

Question

Cho hàm số $y = - {x^4} + 2\left( {m - 1} \right){x^2} - 2m - 1$
$1$. Xác định tham số $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $4$ điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng
$2$. Gọi $(C)$ là đồ thị khi $m = 0$. Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị $(C)$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 4:32:05 PM

$1$. Xét phương trình $ - {x^4} + 2\left( {m - 1} \right){x^2} - 2m - 1\left( 1 \right)$
Đặt $t = {x^2} \ge 0$ ta được phương trình ${t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 2m + 1 = 0 \left( 2 \right)$
$(1)$ có $4$ nghiệm lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi $(2)$ phải có $2$ nghiệm dương ${t_1} \le {t_2}$ sao cho $ - \sqrt {{t_2}} \le - \sqrt {{t_1}} \le \sqrt {{t_1}} \le \sqrt {{t_2}} $ lập thành cấp số cộng $ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} - \sqrt {{t_1}} = \sqrt {{t_1}} - \left( { - \sqrt {{t_1}} } \right) $
$\Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}$
$ \Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có $1$ nghiệm dương gấp $9$ lần nghiệm kia.
Mặt khác dễ thấy $(2)$ luôn có $2$ nghiệm $t = 1,t = 2m + 1$ nên yêu cầu bài toán được thỏa mãn $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2m + 1 = 9.1\\
1 = 9.\left( {2m + 1} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 4\\
m = - \frac{4}{9}
\end{array} \right.$

$2$. Khi $m = 0: y = - {x^4} + 2{x^2} - 1$ .
Đồ thị $(C)$ nhận trục tung làm trục đối xứng, do đó nếu đường thẳng $(d)$ qua $A$, hệ số góc $k$ tiếp xúc với $(C)$ thì đường thẳng $(d’)$ qua $A$, hệ số góc $–k$ cũng tiếp xúc với $(C)$.
Vì vậy $A \in Oy$ là điểm mà từ đó kẻ được $3$ tiếp tuyến với $(C)$ thì tiếp tuyến với hệ số góc $=0$ phải qua $A$.
Ta có $y' = - 4{x^3} + 4x,\\\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0,x =\pm 1$
Tại $x=0, (C)$ có tiếp tuyến ${\rm{y }} =- {\rm{1}}$
Tại $x =\pm 1$, $(C)$ có tiếp tuyến $y = 0$
Hai tiếp tuyến cắt $Oy$ tại $2$ điểm $A\left( {0, - 1} \right),O\left( {0,0} \right)$.
Tiếp tuyến tổng quát của $(C)$ có phương trình: $y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + y\left( {{x_0}} \right) \\\Leftrightarrow y = \left( { - 4x_0^3 + 4{x_0}} \right)x + 3x_0^4 - 2x_0^2 - 1\, \left( 1 \right)$
Thế tọa độ của $O$ vào $(1)$,ta có phương trình:
$3x_0^4 - 2x_0^2 - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1$
Thế trở lại ${x_0} =\pm 1$ vào $(1)$ ta được $y = 0$ là tiếp tuyến duy nhất qua $O (0, 0)$
Tương tự ta có thể kiểm tra được rằng qua $A(0, -1)$ kẻ được $3$ tiếp tuyến (hoành độ các tiếp điểm là ${x_0} = 0,{x_0} = \sqrt {\frac{2}{3}} ,{x_0} = - \sqrt {\frac{2}{3}} $
Đáp số: $A(0, -1)$

Bài 102347

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102347

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan