|
|
$1$. Ta có:
\(\begin{array}{l}
y = \frac{{{x^2} + {m^2}x + 2{m^2} - 5m + 3}}{x} = x + {m^2} + \frac{{2{m^2} - 5m + 3}}{x}\\
\Rightarrow y' = 1 - \frac{{2{m^2} - 5m + 3}}{{{x^2}}}
\end{array}\)
- Nếu \(2{m^2} - 5m + 3 \le 0 \Rightarrow y' > 0,\forall x \ne 0\)
Nên hàm số không có cực trị.
- Nếu \(2{m^2} - 5m + 3 > 0\)
\( \Rightarrow y'\) có $2$ nghiệm phân biệt: \({x_1} = -\sqrt {2{m^2} - 5m + 3} ;{x_2} = \sqrt {2{m^2} - 5m + 3} \)
Ta có bảng biến thiên như hình vẽ:
Hàm số có cực tiểu nằm trong khoảng: \(\begin{array}{l}
0 < x < 2m \Leftrightarrow 0 < {x_2} < 2m\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{m^2} - 5m + 3} < 2m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
0 < 2{m^2} - 5m + 3 < 4{m^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
2{m^2} - 5m + 3 > 0\\
2{m^2} + 5m - 3 > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 1;m > \frac{3}{2}
\end{array}\)
$2. a)$ Khi $m=2$ hàm số trở thành: \(y = x + 4 + \frac{1}{x}\). Bạn đọc tự khảo sát và vẽ đồ thị.
$b)$ Đường thẳng qua $A(1, 0)$ với hệ số góc $k$ có phương trình \(y = k\left( {x - 1} \right)\).
Đường thẳng này là tiếp tuyến \( \Leftrightarrow \) hệ phương trình ẩn $x$ sau có nghiệm: \(\left( H \right)\left\{ \begin{array}{l}
x + \frac{1}{x} + 4 = k\left( {x - 1} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
1 - \frac{1}{{{x^2}}} = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\,\,\,\)
Lấy $(1)$ chia cho $x$ rồi trừ cho $(2)$, ta có:
\(\frac{2}{x} = - 4 - k \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{{ - \left( {k + 4} \right)}}{2}\)
\(\left( H \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - \frac{1}{{{x^2}}} = k\,\,\,\left( 2 \right)\\
\frac{1}{x} = \frac{{ - \left( {k + 4} \right)}}{2}\,\left( 3 \right)
\end{array} \right.\)
Hệ $(H)$ sẽ có nghiệm khi và chỉ khi $(3)$ có nghiệm thỏa mãn $(2)$ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k + 4 \ne 0\\
1 - \frac{{{{\left( {k + 4} \right)}^2}}}{4} = k
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne - 4\\
{k^2} + 12k + 12 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow k = - 6 \pm 2\sqrt 6 \)
Vậy có $2$ tiếp tuyến qua $A(1, 0)$. Phương trình $2$ tiếp tuyến đó là: \(y = \left( { - 6 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {x - 1} \right);y = \left( {6 - 2\sqrt 6 } \right)\left( {x - 1} \right)\)
|
|
|
Đăng bài 02-05-12 02:54 PM
|
|