Bài 102153

Question

Cho đường thẳng (d)

$\frac{{x - 3}}{{k + 1}} = \frac{{y + 1}}{{2k + 3}} = \frac{{z + 1}}{{1 - k}}$ với

$k$ là tham số

$1$ . Chứng minh rằng

$\left( {{d_k}} \right)$ luôn nằm trong mặt phẳng cố định. Viết phương trình mặt phẳng đó

$2$ . Xác định k để đường thẳng

$\left( {{d_k}} \right)$ song song với hai mặt phẳng

$6x - y - 3z - 13 = 0\,\,;\,\,x - y + 2z - 3 = 0$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 10:42:03 AM

$1$ . Xét một mặt phẳng

$(P)$ với vecto pháp tuyến

$\overrightarrow u$ .
Nếu

$\left( {{d_k}} \right)$ luôn nằm trong (P) thì vecto chỉ phương của

$\left( {{d_k}} \right)$ là

$\overrightarrow v \left( {k + 1,\,2k + 3,\,1 - k} \right)$ luôn luôn vuông góc với

$\overrightarrow u$ , do đó tọa độ

$\left( {x,y,z} \right)$ của

$\overrightarrow u$ phải thỏa mãn:

$0 = \overrightarrow u .\overrightarrow v = \left( {x,y,z} \right).\left( {k + 1,\,2k + 3,\,1 - k} \right) = 0\,\, \forall k\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = - 2z\\ x = 5z \end{array} \right. \Leftrightarrow \overrightarrow u = z\left( {5, - 2,1} \right)$
Vì vậy mặt phẳng (P) cần tìm có vecto pháp tuyến

$\overrightarrow u = \left( {5, - 2,\,1} \right)$ .
Mặt khác

$\left( {{d_k}} \right)$ luôn chứa

$A\left( {3,\, - 1,\, - 1} \right)$ nên (P) cũng phải chứa

$A\left( {3,\, - 1,\, - 1} \right)$ .
Do đó (P) có phương trình

$5x - 2y + z - 16 = 0$

$2$ . Hai mặt phẳng

$(Q_{1}):6x-y-3z-13=0$ và

$(Q_{2}):x-y+2z-3=0$ có giao tuyến

$\Delta$ với vecto chỉ phương

$\overrightarrow \eta=\left( {1,3,1} \right).$

${d_k}$ song song với

$\left( {{Q_1}} \right);\left( {{Q_2}} \right) \Leftrightarrow \left( {{d_k}} \right)//\Delta$

$\Leftrightarrow \left( {{d_k}} \right)$ có vecto chỉ phương song song với

$\left( {1,3,1} \right)$ và

$\left( {{d_k}} \right)$

$\Delta$ không có điểm chung

$\Leftrightarrow \frac{{k + 1}}{1} = \frac{{2k + 3}}{3} = \frac{{1 - k}}{1} = \frac{{k + 1 + 1 - k}}{{1 + 1}} \Leftrightarrow k = 0$
Dễ thấy

$\left( {{d_k}} \right)$ không có điểm chung với đường thẳng

$\left\{ \begin{array}{l} 6x - y - 3z - 13 = 0\\ x - y + 2z - 3 = 0 \end{array} \right.$

Đáp số:

$k = 0$

Bài 102153

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102153

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan