Bài 102079

Question

Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn $Oxyz$ cho đường thẳng $(D)$ có phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
x\cos \alpha + y\sin \alpha + z\sin \alpha = 6\sin \alpha + 5\cos \\
x\sin \alpha - y\cos \alpha + z\cos \alpha = 2\cos \alpha - 5\sin \alpha
\end{array} \right.$với $\alpha $ là tham số
$1$. Chứng minh rằng $(D)$ song song với mặt phẳng: $x\sin 2\alpha - y\cos 2\alpha + z - 1 = 0$
$2$.Gọi $(D')$ là hình chiếu vuông góc của $(D)$ trên mặt phẳng $(xoy)$, chứng minh rằng khi $\alpha $ thay đổi, đường thẳng $(D')$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 9:13:29 AM

$1. (D)$ là giao tuyến của hai mặt phẳng có vecto pháp tuyến là:
$\overrightarrow {{n_1}} = \left( {c{\rm{os}}\alpha ;\sin \alpha ;\sin \alpha } \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {{n_2}} = \left( {\sin \alpha ;\, - c{\rm{os}}\alpha ;c{\rm{os}}\alpha } \right)$
Vecto chỉ phương của $(D)$ là:$\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {\sin 2\alpha ,\, - c{\rm{os}}2\alpha ,\, - 1} \right)$
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow n = \left( {\sin 2\alpha ; - c{\rm{os}}2\alpha ;1} \right)$
Ta có $\overrightarrow v .\overrightarrow n = {\sin ^2}2\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2\alpha - 1 = 0\\ \Rightarrow \left( D \right)//\left( P \right)$

$2$. Ta lập phương trình hình chiếu $(D’)$ của $(D)$ trên mặt phẳng $(xOy)$:
Nhân hai vế của phương trình đầu với $c{\rm{os}}\alpha $, của phương trình sau hệ với $\sin \alpha $, rồi trừ từng vế ta được:

$c{\rm{os}}\alpha \left( {x\cos \alpha + {\rm{y}}\sin \alpha + z\sin \alpha } \right) - \sin \alpha \left( {x\sin \alpha - y\cos \alpha + z\cos \alpha } \right)$
$ = c{\rm{os}}\alpha \left( {6\sin \alpha + 5\cos \alpha } \right) - \sin \alpha \left( {\cos \alpha - 5\sin \alpha } \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)x + \left( {2\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha } \right)y = 4\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha + 5$
$ \Leftrightarrow x\cos 2\alpha + {\rm{y}}\sin 2\alpha - 2\sin 2\alpha - 5 = 0\,\,\left( Q \right)$
$(Q)$ không phụ thuộc $z$ nên đường thẳng $\left( D \right) \in \left( Q \right)//Oz$.
Do đó phương trình (D’) là $\left\{ \begin{array}{l}
\left( Q \right)\\
z = 0
\end{array} \right.$
Trong mặt phẳng $(xOy)$ khoảng cách từ điểm $E(0, 2, 0)$ đến (D’) là $\frac{5}{{\sqrt {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2\alpha + {{\sin }^2}2\alpha } }} = 5$
Vậy $(D’)$ tiếp xúc với đường tròn tâm $E(0, 2, 0)$, bán kính $5$ trong mặt phẳng $(xOy)$

Bài 102079

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102079

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan