Bài 102062

Question

$1$. Khảo sát hàm số $y = \frac{{{x^2} + x - 5}}{{x - 2}}\left( C \right)$
$2$. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm $M$ bất kỳ trên đồ thị $(C)$ đến các tiệm cận là một hằng số không phụ thuộc vị trí điểm $M$
$3$. Tìm trên mỗi nhánh của $(C)$ một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 8:47:37 AM

$1$. Bạn đọc tự giải.

$2$. Đồ thị có tiệm cận đứng $x - 2=0$ và tiệm cận xiên $ x-y + 3=0$
Giả sử $M\left( {{x_0},\,\frac{{x_0^2 + x - 5}}{{{x_0} - 2}}} \right) \in \left( C \right)$
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là ${h_1} = |{x_0} - 2|$
Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là ${h_2} = \left| {{x_0} - \frac{{x_0^2 + {x_0} - 5}}{{{x_0} - 2}} + 3} \right|.\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 |{x_0} - 2|}}$
Ta được ${h_1}.\,{h_2} = |{x_0} - 2|.\frac{1}{{\sqrt 2 |{x_0} - 2|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = $ hằng số.

$3$. Giả sử $A, B$ trên hai nhánh của $(C)$ sao cho ${x_A} = 2 - a;\,\,{x_B} = 2 + b\,\,\left( {a,\,b > 0} \right)$. Khi đó:
$\begin{array}{l}
{y_A} = \frac{{{{\left( {2 - a} \right)}^2} + \left( {2 - a} \right) - 5}}{{ - a}} = - a - \frac{1}{a} + 5\\
{y_B} = \frac{{{{\left( {2 + b} \right)}^2} + \left( {2 + b} \right) - 5}}{b} = b + \frac{1}{b} + 5\\
{y_B} - {y_A} = a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\\
{x_B} - {x_A} = a + b
\end{array}$
Do đó $A{B^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a + b} \right)^2}{\left( {1 + \frac{1}{{ab}}} \right)^2}$
Vì ${\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab$ nên ta có
$A{B^2} \ge 4ab\left[ {1 + {{\left( {1 + \frac{1}{{ab}}} \right)}^2}} \right] = 4ab\left( {\frac{1}{{{a^2}{b^2}}} + \frac{2}{{ab}} + 2} \right) \Leftrightarrow A{B^2} \ge \frac{4}{{ab}} + 8ab + 8$
Áp dụng bất đẳng thức côsi cho cặp số $\left( {\frac{4}{{ab}},\,8ab} \right)$ ta được:$\frac{4}{{ab}} + 8ab \ge 2\sqrt {\frac{4}{{ab}}.8ab} = 8\sqrt 2 $
Do đó $A{B^2} \ge 8\left( {\sqrt 2 + 1} \right) \Rightarrow AB \ge 2\sqrt {2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)} $
Vậy $A{B_{\min }} = 2\sqrt {2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)} $ xảy ra khi $a = b = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$
Kết luận: Hai điểm cần tìm là hai điểm trên đồ thị với hoành độ $x = 2 \pm \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$

Bài 102062

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102062

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan