Bài 101739

Question

Cho hàm số $y = m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x - 2\left( {{C_m}} \right)$
$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
$2$. Với giá trị nào của $m$ hàm số thì hàm số luôn đồng biến.
$3$. Chứng minh rằng mọi đường cong của $\left( {{C_m}} \right)$ đều tiếp xúc với nhau.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/27/2012 9:55:06 AM

$1$. Bạn đọc tự giải
$2$.
Hàm số luôn đồng biến $ \Leftrightarrow y' = 3m{x^2} - 2\left( {2m - 1} \right)x + m - 2 \ge 0\,\,\forall x$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {3mx - m + 2} \right) \ge 0\,\,\left( 1 \right)\,\,\forall x$
Nếu $m = 0$ thì $(1)$ $ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)2 \ge 0$ chỉ đúng với $x \ge 2$
Nếu $m < 0$ thì $(1)$ $ \Leftrightarrow {x_1} \le x \le {x_2}({x_{1,2}} = \left\{ \begin{array}{l}
1\\
\frac{{m - 2}}{{3m}}
\end{array} \right.$ là hai nghiệm của PT $y’=0$)
Nếu $m > 0$ thì $(1)$ $ \Leftrightarrow $

$(1)$ đúng với $\forall x \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} \Leftrightarrow 1 = \frac{{m - 2}}{{3m}} \Leftrightarrow 3m = m - 2 \Leftrightarrow m = - 1$ loại, vì trái với giả thiết $m> 0$
Vậy không có giá trị nào của $m$ làm hàm số luôn đồng biến.

$3$. $y = m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x - 2 = mx\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - 2x - 2$
Hệ $\left\{ \begin{array}{l}
x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0\\
y = {x^2} - 2x - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = - 2
\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 3
\end{array} \right.$
Do đó $\forall m,\,\,\left( {{C_m}} \right)$ luôn đi qua hai điểm cố định $A(0, -2); B(1, - 3)$. Mặt khác
$y' = \left( {x - 1} \right)\left( {3mx - m + 2} \right) \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 0\,\,\forall m$, do đó $\left( {{C_m}} \right)$ tiếp xúc với nhau tại điểm $B(1, - 3)$

Bài 101739

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101739

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan