Bài 101545

Question

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}$
$1$. Khảo sát hàm số đã cho
$2$. Một đường thẳng thay đổi song song với đường thẳng $y = \frac{1}{2}x$, cắt đồ thị của hàm số đã cho tại các điểm $M, N$. tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $MN$.
$3$. Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình sau ${x^2} - \left( {1 + m} \right)|x| - m - 1 = 0$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/26/2012 4:12:54 PM

$1$. Bạn đọc tự giải
$2$. Đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng $y = \frac{1}{2}x$ có phương trình dạng $y = \frac{1}{2}x + a$
Xét phương trình $\frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}} = \frac{1}{2}x + a\left( 1 \right)$$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} - \left( {2a + 3} \right)x - 2\left( {a + 1} \right) = 0$
Đường thẳng $(d)$ cắt đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho $ \Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$có nghiệm
$ \Leftrightarrow \Delta = {\left( {2a + 3} \right)^2} + 8\left( {a + 1} \right) = 4{a^2} + 20a + 17 \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a \le \frac{{ - 5 - 2\sqrt 2 }}{2} \\ a \ge \frac{{ - 5 + 2\sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.(2).$
Với điều kiện $(2)$ các giao điểm $M$ và $N$ có hoành độ là hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ của f(x), do đó theo định lý Viet, trung điểm $I$ của $MN$ có hoành độ $x = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{{2a + 3}}{2}$. Vì vậy $I$ có tọa độ thỏa mãn$\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{2a + 3}}{2}\\
y = \frac{1}{2}x + a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = x - \frac{3}{2}\\
y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}
\end{array} \right.$
Điều kiện $(2)$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a + \frac{3}{2} \le - 1 - \sqrt 2 \\ \frac{3}{2} \ge a - 1 + \sqrt 2 \end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1 - \sqrt 2 \\ x \ge - 1 + \sqrt 2 \end{array} \right. (*).$
Vậy quỹ tích $I$ là đường thẳng có phương trình: $y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$ với x thỏa mãn (*).
$3$. Đặt $t = |x| \ge 0$ thì phương trình đã cho trở thành ${t^2} - \left( {1 + m} \right)t - m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} - t - 1}}{{t + 1}}$
Do đó, dựa vào đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho ta có:
Nếu $m < -1$ thì đường thẳng $y = m$ không cắt phần bên phải trục tung của $(C)$. Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu $m = -1$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = a$
Nếu $m > -1$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

hoàng anh thọ · Answer 2 · 4/26/2012 4:12:44 PM

$1$. Bạn đọc tự giải

$2$. Đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng $y = \frac{1}{2}x$ có phương trình dạng $y = \frac{1}{2}x + a$
Xét phương trình $\frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}} = \frac{1}{2}x + a\left( 1 \right)$$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} - \left( {2a + 3} \right)x - 2\left( {a + 1} \right) = 0$
Đường thẳng $(d)$ cắt đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho $ \Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$có nghiệm
$ \Leftrightarrow \Delta = {\left( {2a + 3} \right)^2} + 8\left( {a + 1} \right) = 4{a^2} + 20a + 17 \ge 0\\ \Rightarrow a \le \frac{{ - 5 - 2\sqrt 2 }}{2};a \ge \frac{{ - 5 + 2\sqrt 2 }}{2}\left( 2 \right)$

Với điều kiện $(2)$ các giao điểm $M$ và $N$ có hoành độ là hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ của $f(x)$, do đó theo định lý Viet, trung điểm $I$ của $MN$ có hoành độ $x = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{{2a + 3}}{2}$. Vì vậy $I$ có tọa độ thỏa mãn$\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{2a + 3}}{2}\\
y = \frac{1}{2}x + a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = x - \frac{3}{2}\\
y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}
\end{array} \right.$
Điều kiện $(2)$ $ \Leftrightarrow a + \frac{3}{2} \le - 1 - \sqrt 2 $ hoặc $a + \frac{3}{2} \ge - 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow x \le - 1 - \sqrt 2 $ hoặc $x \ge - 1 + \sqrt 2 $ $(3)$
Vậy quỹ tích $I$ có phương trình: $y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$ kết hợp với ĐK $3$

$3$. Đặt $t = |x| \ge 0$ thì phương trình đã cho trở thành ${t^2} - \left( {1 + m} \right)t - m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} - t - 1}}{{t + 1}}$
Do đó, dựa vào đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho ta có:
Nếu $m < -1$ thì đường thẳng $y = m$ không cắt phần bên phải trục tung của $(C)$. Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu $m = -1$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = a$
Nếu $m > -1$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Bài 101545

2 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101545

2 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan