Bài 101470

Question

Giải bất phương trình :

${x^{{{\log }_a}x + 1}} > {a^2}x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

score 0 · Answer 1

Điều kiện:$x > 0$.
+ Nếu $\left[ \begin{array}{l} a<0\\ a=1 \end{array} \right.$ thì không thỏa mãn điều kiện logarit, BPT đã cho vô nghiệm.
+ Nếu $\left\{ \begin{array}{l} a>0\\ a\neq1 \end{array} \right.$:
Lấy logarit cơ số a cho 2 vế BPT ta được:
$\log_a(x^{\log_ax+1})>\log_a(a^2x)$
$\Leftrightarrow (\log_ax+1).\log_ax>\log_ax+2$
$\Leftrightarrow \log_a^2x-2>0$
$\Leftrightarrow (\log_ax-\sqrt2)(\log_ax+\sqrt2)>0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \log_ax>\sqrt2\\ \log_ax<-\sqrt2 \end{array} \right.(*)$
Chia $2$ trường hợp:
$\,\,\,1)\,\,0 < a < 1$
$(*)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x<a^\sqrt2\\ x>a^{-\sqrt2}\end{array} \right.$

$2)\,\,a > 1$
$(*)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0 < x < \frac{1}{{{a^{\sqrt 2 }}}}\\
a > {a^{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.$.

Vậy ta có các trường hợp :
$+ 0 < a < 1:$ nghiệm là ${a^{\sqrt 2 }} < x < \frac{1}{{{a^{\sqrt 2 }}}}$
$+ a > 1\,\,\,:\,\,\left[ \begin{array}{l}
0 < x < \frac{1}{{{a^{\sqrt 2 }}}}\\
a > {a^{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.$
$+ \left[ \begin{array}{l} a<0\\ a=1 \end{array} \right.$: BPT vô nghiệm.

Bài 101470

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101470

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc hai và các bài toán liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc cao

Lý thuyết liên quan