Bài 102335

Question

Chứng minh rằng $BPT sinx (cos^{2}x+sin2x)+sin3x<9cos^{3}x$ được thỏa mãn với mọi $ \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 4:17:29 PM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Bất phương trình đã cho
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sin {\rm{x}} {\cos ^2}x + 2{\sin ^2}x\cos x + \left( { - {{\sin }^3}x + 3\sin x{{\cos }^2}x} \right) < 9c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x\\
\Leftrightarrow {\sin ^3}x - 2{\sin ^2}x\cos x - 4\sin x{\cos ^2}x + 9{\cos ^3}x > 0 \left( 1 \right)
\end{array}$
Hiển nhiên $x = \frac{\pi }{2}$ thỏa mãn $(1)$.

Với $0 \le x \le \frac{\pi }{2}$ thì $\cos x > 0$ nên
$\left(1 \right) \Leftrightarrow t{g^3}x - 2t{g^2}x - 4tgx + 9 > 0$
Đặt $t = tgx$
$ (1) \Leftrightarrow {t^3} - 2{t^2} - 4t + 9 > 0$
Xét $f\left( t \right) = {t^3} - 2{t^2} - 4t + 9$ có $f'\left( t \right) = 3{t^2} - 4t - 4$
Ta lập bảng như hình vẽ:

$ \Rightarrow f\left( t \right) > 0,\,\forall t > 0 \Rightarrow $ (đpcm)

Đăng bài 02-05-12 04:17 PM

hoàng anh thọ
15 1

175K 551K

VÌ SAO TỪ sinx(cos2x sin2x) sin3x<9cos3x SUY RA ĐƯỢC sinxcos2x 2sin2xcosx (−sin3x 3sinxcos2x)<9cos3x VẬY Ạ? – hờ hờ 08-12-16 06:38 AM

Bài 102335

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102335

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc hai và các bài toán liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc cao

Lý thuyết liên quan