Khi giải các bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit, cần nhớ rằng các hàm số $y = {a^x}$và $y = {\log _a}x$ đồng biến khi a > 1 và khi nghịch biến khi $0 < a <1$.
Ví dụ. Giải bất phương trình
${\log _{0,5}}\left( {4x + 11} \right) < {\log _{0,5}}\left( {{x^2} + 6x + 8} \right)$ (1)
Giải
Điều kiện xác định của bất phương trình (1) là $4x + 11 > 0$ và ${x^2} + 6x + 8 > 0$. Với điều kiện đó, do tính nghịch biến của hàm số lôgarit cơ số $0,5$, bất phương trình (1) tương đương với $4x + 11 > {x^2} + 6x + 8$ .Bởi vậy, ta có thể viết
$(1) \Leftrightarrow \begin{cases}4x+11>0 \\ x^2+6x+8>0 \\ 4x+11>x^2+6x+8 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+6x+8>0 \\ 4x+11>x^2+6x+8 \end{cases} $
Giải từng bất phương trình :
$x^2+6x+8>0 \Leftrightarrow x<-4$ hoặc $x>-2$
$4x + 11 > {x^2} + 6x + 8 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 1$
Các giá trị của x thoả mãn đồng thời cả hai bất phương trình trên là $x \in (-2;1)$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là $S=(-2;1)$
|