Bài 101452

Question

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}}\left( C \right)$
$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
$2$. Tìm tất cả các điểm trên trục tung sao cho từ đó có hai tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ vuông góc với nhau

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/26/2012 2:39:35 PM

$1$. Bạn đọc tự giải

$2$. Xét $A\left( {0,a} \right)$ trên $Oy$. Đường thẳng qua $A$ với hệ số góc $k$ có phương trình $y = kx + a$
Đường thẳng này sẽ là một tiếp tuyến của $(C)$ khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn $x$ sau có nghiệm
$\left( H \right)\left\{ \begin{array}{l}
x + 3 + \frac{4}{{x - 1}} = kx + a      \left( 1 \right)\\
1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k                 \left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Ta có $\left( 2 \right) \Leftrightarrow x - 1 - \frac{4}{{x - 1}} = k\left( {x - 1} \right){\rm{   }}    \left( {2'} \right)$
$\left( 1 \right) - \left( {2'} \right) \Rightarrow 4 + \frac{8}{{x - 1}} = k + a \Rightarrow \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{k + a - 4}}{8}        \left( 3 \right)$
$\left( H \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x - 1}} = \frac{{k + a - 4}}{8}      \left( 3 \right)\\
1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k    \left( 2 \right)
\end{array} \right.$
$(H)$ sẽ có nghiệm $ \Leftrightarrow (3)$ có nghiệm thỏa mãn $(2)$
    $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k + a - 4 \ne 0\\
1 - 4{\left( {\frac{{k + a - 4}}{8}} \right)^2} = k
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 4-a\\
{\left( {k + a - 4} \right)^2} + 16\left( {k - 1} \right) = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 4-a\\
\varphi \left( k \right) = {k^2} + 2\left( {a - 4 + 8} \right)k + {\left( {a - 4} \right)^2} - 16 = 0
\end{array} \right.$
Như vậy qua $A$ sẽ kẻ được tới đồ thị $2$ tiếp tuyến vuông góc nhau khi và chỉ khi $\varphi \left( k \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt ${k_1},{k_2} \ne 4-a$ sao cho ${k_1}.{k_2} = - 1$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a - 4} \right)^2} - 16 = - 1\\
\varphi \left(4-a \right) = 16(3-a)\ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4 \pm \sqrt {15} \\
a \ne 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 4 \pm \sqrt {15} $
Kết luận: các điểm cần tìm là $A$ $\left( {0;4 \pm \sqrt {15} } \right)$

Bài 101452

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101452

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan