Bài 101347

Question

Cho hệ trục tọa độ $Oxyz$ và hình lập phương $ABCDA’B’C’D’$ có đỉnh $A$ trùng với gốc tọa độ, đỉnh $B$ có tọa độ $(1, 0, 0); D(0, 1, 0)$ và $A’(0, 0, 1)$. Các điểm $M, N$ thay đổi tên các đoạn thẳng $AB’, BD$ tương ứng sao cho $AM = BN = a$ $\left( {0 < a < \sqrt 2 } \right)$
$1$. Viết phương trình đường thẳng $MN$
$2$. Tìm $a$ để đường thẳng $MN$ đồng thời vuông góc với hai đường thẳng $AB’$ và $BD$
$3$. Xác định $a$ để $MN$ có độ dài bé nhất và tính độ dài bé nhất đó.
$4$. Chứng minh rằng khi $a$ thay đổi thì các đường thẳng $MN$ luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy viết phương trình của mặt phẳng đó.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/26/2012 11:05:13 AM

$1$. Tính tọa độ $M, N$ ta được
$M\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2},0,\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right);N\left( {1 - \frac{{a\sqrt 2 }}{2},\frac{{a\sqrt 2 }}{2},0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} \left( {1 - a\sqrt {2,} \frac{{a\sqrt 2 }}{2},\frac{{ - a\sqrt 2 }}{2}} \right)$
Phương trình đường thẳng $MN$ là
$\left\{ \begin{array}{l}
x = \left( {1 - a\sqrt 2 } \right)t + \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\
y = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}t\\
z = - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}t + \frac{{a\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.$

$2$.

Ta có $\overrightarrow {AB} \left( {1,0,1} \right);\overrightarrow {BD} \left( { - 1,1,0} \right) \Rightarrow MN \bot AB' \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB'} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$
Với $a = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$ thì $\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow MN \bot BD$
Vậy với $a = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$ thì đường thẳng $MN$ vuông góc với cả hai đường thẳng $AB’$ và $BD$

$3$. Với $a = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$ thì $MN$ là đoạn vuông góc chung của $AB’$ và $BD$ nên có độ dài bé nhất
Khi $\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{1}{3},\frac{1}{3}, - \frac{1}{3}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

$4$. Ta có $\frac{{MA}}{{MB'}} = \frac{{NB}}{{ND}} = \frac{a}{{\sqrt 2 - a}}$
$\Rightarrow AB,MN,DB'$ nằm trên ba mặt phẳng song song với nhau ( định lý Talet đảo).
Do $CD//AB, A’B’//AB$ nên mặt phẳng $(A’B’CD)//AB$,, do đó nó song song với $MN$. Vậy khi $a$ thay đổi, các đường thẳng $MN$ luôn song song với mặt phẳng cố định $(A’B’CD)$. Ta có $\overrightarrow {A'D} \left( {0,1, - 1} \right);\overrightarrow {DC} \left( {1,0,0} \right)$ là các vectơ chỉ phương. Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $(0, 1, 1)$. Vậy phương trình mặt $(A’B’CD)$ là $y + z - 1 = 0$

Bài 101347

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101347

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan