|
|
a. Viết lại (d) dưới dạng $(d):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 3t}\\
{y = - 2 + t}\\
{z = t}
\end{array}} \right.$.
Gọi I là tâm mặt cầu (S ), khi đó tọa độ của I là $I(1 + 3t_0, -2 + t_0, t_0). $
(S ) tiếp xúc với (P) và có bán kính bằng 1, nên ta có phương trình sau để xác định to.
$d(I;(P))=R\Leftrightarrow \frac{{\left| {2(1 + 3{t_0}) + ({t_0} - 2) - 2{t_0} + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {5{t_0} + 2} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{t_0} = - 1}\\
{{t_0} = \frac{1}{5}}
\end{array}} \right.$
Với $t_0 = -1 \Rightarrow I_1$ có tọa độ là $I_1(-2;-3;-1)$.
Lúc này (S ) có phương trình $(S_1):{(x + 2)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 1)^2} = 1$
Với $t_0 = \frac{1}{5} \Rightarrow I_2$ có tọa độ là $I_2(\frac{8}{5};\frac{-9}{5};\frac{1}{5})$.
Lúc này (S ) có phương trình $(S_2):{(x - \frac{8}{5})^2} + {(y + \frac{9}{5})^2} + {(z - \frac{1}{5})^2} = 1$
Vậy có 2 mặt cầu thỏa mãn với phương trình như trên.
b. Để xác định tọa độ của M, xét phương trình $2(1 + 3t) + ( - 2 + t) - 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{2}{5}$
Vậy M có tọa độ là $M(-\frac{1}{5}, -\frac{12}{5}, -\frac{2}{5}) $
Để xác định tọa độ của T, ta chỉ xét trường hợp với hình cầu ${(x + 2)^2} + {(y + 3)^2} + {(z + 1)^2} = 1$ (với hình cầu còn lại làm tương tự).
Đường thẳng IT có véc tơ chỉ phương chính là véc tơ pháp $\overrightarrow n = (2,1, - 2)$của (P), và qua I1(-2,-3,-1), nên có phương trình dưới dạng tham số ${I_1}T:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = - 2 + 2t}\\
{y = - 3 + t}\\
{z = - 1 - 2t}
\end{array}} \right.{\rm{ }}$
Vậy xét phương trình sau $2( - 2 + 2t) + ( - 3 + t) - 2( - 2t) + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$
Vậy tọa độ của T là $T(-\frac{4}{3}, -\frac{8}{3}, -\frac{5}{3})$ từ đó suy ra $MT = \frac{{\sqrt {666} }}{{15}}$
|