Bài 100945

Question

Hãy chứng minh rằng:
$1/ \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{\left ( a+c \right )^{2}+\left ( b+d \right )^{2}},\forall a,b,c,d\in R$
$2/\sqrt{4\cos ^{2}x.\cos ^{2}y+\sin ^{2}\left ( x -y\right )}+\sqrt{4\sin ^{2}x.\sin ^{2}y+\sin ^{2}\left ( x -y\right )}\geq 2,\forall x,y\in R$

score 1 · Answer 1

$1/$Bất đẳng thức cần chứng minh $\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2\sqrt{\left ( a^{2}+b^{2}\right )\left ( c^{2}+d^{2}\right )}\geq \left ( a+c \right )^{2}+\left (b+d \right )^{2}$
$\Leftrightarrow ac+bd\leq \sqrt{\left ( a^{2}+b^{2}\right )\left ( c^{2}+d^{2}\right )}$$\left ( 1 \right )$
Nếu: $ac+bd<0$: BĐT luôn đúng.
Nếu: $ac+bd\geq 0$: Thì $\left ( 1 \right )$ tương đương:
$\left ( ac+bd \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+b^{2}\right )\left ( c^{2}+d^{2}\right )$
$\Leftrightarrow \left ( ac \right )^{2}+\left ( bd \right )^{2}+2abcd\leq \left ( ac \right )^{2}+\left ( ad \right )^{2}+\left ( bc \right )^{2}+\left ( bd \right )^{2}$
$\Leftrightarrow \left ( ad \right )^{2}+\left ( bc \right )^{2}-2abcd\geq 0$
$\Leftrightarrow \left ( ad-bc \right )^{2}\geq 0$,luôn đúng, vậy bài toán được chứng minh.
$2/$Chọn: $\begin{cases}a=2\cos x.\cos y \\ c=2\sin x.\sin y \\ b=d=\sin \left ( x-y \right )\end{cases}.$Từ câu 1 ta có:
$\sqrt{4\cos^{2} x.\cos^{2}y+\sin^{2}\left ( x-y \right ) }+\sqrt{4\sin^{2} x.\sin^{2}y+\sin^{2}\left ( x-y \right ) }$
$\geq \sqrt{\left ( 2\cos x.\cos y+ 2\sin x.\sin y \right )^{2}+\left ( 2\sin \left ( x-y \right ) \right )^{2}}$
$\geq \sqrt{4\cos ^{2}\left ( x-y \right )+4\sin^{2}\left ( x-y \right )}=2$

Bài 100945

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100945

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan