Bài 100867

Question

Cho $a,b,c>0,abc=1$ và $x,y,z,t>0$.Hãy chứng minh:
$1/x+y+z+t\geq 4\sqrt[4]{xyzt}$ ;
$2/x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$ ;
$3/\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq x$ ;
$4/ /\frac{x^{2}}{y+z} + \frac{y^{2}}{z+x} \frac{z^{2}}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2}$
$5/\frac{1}{a^{3}\left ( b+c \right )}+ \frac{1}{b^{3}\left ( c+a \right )} + \frac{1}{c^{3}\left ( a+b \right )}\geq \frac{3}{2} $

score 0 · Answer 1

$1/$ Ta có:$x+y+z+t \geq 4\sqrt[4]{xyzt}$
$\Leftrightarrow \left ( x+y-2\sqrt{xy} \right )+ \left ( z+t-2\sqrt{zt} \right )+ 2\left ( \sqrt{xy} + \sqrt{zt} -2 \sqrt[4]{xyzt} \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x}- \sqrt{y} \right )^{2}+ \left ( \sqrt{z}-  \sqrt{t} \right )^{2}+2\left ( \sqrt[4]{xy} - \sqrt[4]{zt} \right )^{2}\geq 0 $
Bất đẳng thức cuối luôn đúng $\Rightarrow $ điều phải chứng minh.
$2/$Theo $1/$:
$x+y+z+ \sqrt[3]{xyz} \geq 4 \sqrt[4]{xyz \sqrt[3]{xyz} }= 4 \sqrt[3]{xyz}  $
Vậy: $ x+y+z \geq  3\sqrt[3]{xyz} $
$3/$Bài toán $\Leftrightarrow 4x^{2}+ \left ( y+z \right )^{2} \geq 4x \left ( y+z \right )  $
$\Leftrightarrow \left ( 2x \right )^{2} + \left ( y+z \right )^{2} -2.2x \left ( y+z \right )\geq 0$
$ \Leftrightarrow \left ( 2x-y-z \right )^{2}\geq 0 $
Bất đẳng thức cuối luôn đúng $\Rightarrow $ (ĐPCM)
$4/$ Theo $3/$:
$\frac{ x^{2} }{y+z} + \frac{ y+z }4\geq x$$\left ( 1 \right )$
$\frac{ y^{2} }{z+x} + \frac{ z+x }4\geq y$ $\left ( 2 \right )$
$\frac{ z^{2} }{x+y} + \frac{ x+y }4\geq z$ $\left ( 3 \right )$
C ộng $\left ( 1 \right )$, $\left ( 2 \right )$, $\left ( 3 \right )$ vế với vế ta được:
$ \frac{ x^{2} }{y+z}  + \frac{ y^{2} }{z+x} + \frac{ z^{2} }{x+y} +  \frac{ x+y+z }2\geq x+y+z$
$\Rightarrow $ĐPCM
$5/$Đặt: $u=\frac{1}{a}, v=\frac{1}{b}, w=\frac{1}{c}  $
Suy ra: $u,v,w>0$ và $uvw=1$
Áp dụng $2/$ và $4/$ ta có:
$u+v+w\geq 3\sqrt[3]{uvw} =3$
$\frac{u^{2}}{v+w}+ \frac{v^{2}}{w+u}+ \frac{w^{2}}{u+v}\geq \frac{u+v+w}{2}  \geq \frac{3}{2}$
Suy ra:$ \frac{1}{a^{3}\left ( b+c \right )}+ \frac{1}{b^{3}\left ( c+a \right )}+ \frac{1}{c^{3}\left ( a+b \right )}= \frac{bc}{a^{2}\left ( b+c \right )} + \frac{ca}{b^{2}\left ( c+a \right )} + \frac{ab}{c^{2}\left ( a+b \right )}  $
$= \frac{ u^{2} }{v+w}  + \frac{ v^{2} }{w+u} + \frac{ w^{2} }{u+v} \geq \frac{3}{2}$
Vậy bài toán đã được chứng minh xong.

Bài 100867

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100867

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan