Bài 100867

Question

Cho

$a,b,c>0,abc=1$ và

$x,y,z,t>0$ .Hãy chứng minh:

$1/x+y+z+t\geq 4\sqrt[4]{xyzt}$ ;

$2/x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$ ;

$3/\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq x$ ;

$4/ /\frac{x^{2}}{y+z} + \frac{y^{2}}{z+x} \frac{z^{2}}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2}$

$5/\frac{1}{a^{3}\left ( b+c \right )}+ \frac{1}{b^{3}\left ( c+a \right )} + \frac{1}{c^{3}\left ( a+b \right )}\geq \frac{3}{2}$

score 0 · Answer 1

$1/$ Ta có:

$x+y+z+t \geq 4\sqrt[4]{xyzt}$

$\Leftrightarrow \left ( x+y-2\sqrt{xy} \right )+ \left ( z+t-2\sqrt{zt} \right )+ 2\left ( \sqrt{xy} + \sqrt{zt} -2 \sqrt[4]{xyzt} \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x}- \sqrt{y} \right )^{2}+ \left ( \sqrt{z}- \sqrt{t} \right )^{2}+2\left ( \sqrt[4]{xy} - \sqrt[4]{zt} \right )^{2}\geq 0$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng

$\Rightarrow$ điều phải chứng minh.

$2/$ Theo

$1/$ :

$x+y+z+ \sqrt[3]{xyz} \geq 4 \sqrt[4]{xyz \sqrt[3]{xyz} }= 4 \sqrt[3]{xyz}$
Vậy:

$x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}$

$3/$ Bài toán

$\Leftrightarrow 4x^{2}+ \left ( y+z \right )^{2} \geq 4x \left ( y+z \right )$

$\Leftrightarrow \left ( 2x \right )^{2} + \left ( y+z \right )^{2} -2.2x \left ( y+z \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow \left ( 2x-y-z \right )^{2}\geq 0$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng

$\Rightarrow$ (ĐPCM)

$4/$ Theo

$3/$ :

$\frac{ x^{2} }{y+z} + \frac{ y+z }4\geq x$

$\left ( 1 \right )$

$\frac{ y^{2} }{z+x} + \frac{ z+x }4\geq y$

$\left ( 2 \right )$

$\frac{ z^{2} }{x+y} + \frac{ x+y }4\geq z$

$\left ( 3 \right )$
C ộng

$\left ( 1 \right )$ ,

$\left ( 2 \right )$ ,

$\left ( 3 \right )$ vế với vế ta được:

$\frac{ x^{2} }{y+z} + \frac{ y^{2} }{z+x} + \frac{ z^{2} }{x+y} + \frac{ x+y+z }2\geq x+y+z$

$\Rightarrow$ ĐPCM

$5/$ Đặt:

$u=\frac{1}{a}, v=\frac{1}{b}, w=\frac{1}{c}$
Suy ra:

$u,v,w>0$ và

$uvw=1$
Áp dụng

$2/$ và

$4/$ ta có:

$u+v+w\geq 3\sqrt[3]{uvw} =3$

$\frac{u^{2}}{v+w}+ \frac{v^{2}}{w+u}+ \frac{w^{2}}{u+v}\geq \frac{u+v+w}{2} \geq \frac{3}{2}$
Suy ra:

$\frac{1}{a^{3}\left ( b+c \right )}+ \frac{1}{b^{3}\left ( c+a \right )}+ \frac{1}{c^{3}\left ( a+b \right )}= \frac{bc}{a^{2}\left ( b+c \right )} + \frac{ca}{b^{2}\left ( c+a \right )} + \frac{ab}{c^{2}\left ( a+b \right )}$

$= \frac{ u^{2} }{v+w} + \frac{ v^{2} }{w+u} + \frac{ w^{2} }{u+v} \geq \frac{3}{2}$
Vậy bài toán đã được chứng minh xong.

Bài 100867

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100867

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan