Bài 100861

Question

$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{{2{x^2} + x}}{{x + 1}}\left( H \right)$
$2$. Tìm những điểm $M$ trên $y = 1$ sao cho từ $M$ có thể kẻ được đúng $1$ tiếp tuyến đến $(H)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 9:52:32 AM

$1$. Bạn đọc tự giải:

$2$. Xét $M\left( {{x_0},1} \right)$ thuộc đường thẳng $y = 1$. Đường thẳng qua $M$, hệ số góc $k$ có phương trình $y = k\left( {x - {x_0}} \right) + 1$. Đường thẳng này sẽ là một tiếp tuyến qua $M$ khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn $x$ sau có nghiệm: $\left( H \right)\left\{ \begin{array}{l}
2x - 1 + \frac{1}{{x + 1}} = k\left( {x - {x_0}} \right) + 1 \left( 1 \right)\\
2 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = k{\rm{                        }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Ta có $(2)$ $ \Leftrightarrow 2\left( {x + 1} \right) - \frac{1}{{x + 1}} = k\left( {x + 1} \right)\left( {2'} \right)$
Lấy $(1) – (2’)$ $ \Rightarrow - 3 + \frac{2}{{x + 1}} = - k{x_0} - k + 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{4 - \left( {{x_0} + 1} \right)k}}{2}$
$\left( H \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x + 1}} = \frac{{4 - \left( {{x_0} + 1} \right)k}}{2}       \left( 3 \right)\\
2 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = k            \left( 2 \right)
\end{array} \right.$

$(H)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow \left( 3 \right)$ có nghiệm thỏa mãn $(2)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 - \left( {{x_0} + 1} \right)k \ne 0\\
2 - {\left( {\frac{{4 - \left( {{x_0} + 1} \right)k}}{2}} \right)^2} = k
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 2\\
{\left[ {\left( {{x_0} + 1} \right)k - 4} \right]^2} + 4k - 8 = 0
\end{array} \right.$
Số tiếp tuyến kẻ được qua $M\left( {{x_0},1} \right)$ đúng bằng số nghiệm khác $2$ của tam thức. $\varphi \left( k \right) = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2}{k^2} + \left[ {4 - 8\left( {{x_0} + 1} \right)} \right]k + 8$
Vậy qua $M$ chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến khi và chỉ khi xảy ra $1$ trong $3$ trường hợp

- Hoặc${x_0} = - 1;k = - 2$
- Hoặc$\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} \ne - 1\\
\Delta ' = 4{\left( {2{x_0} + 1} \right)^2} - 8{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {x_0} = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
{\left( {{x_0} + 1} \right)^2}{.2^2} - 4\left( {2{x_0} + 1} \right).2 + 8 \ne 0
\end{array} \right.$

- Hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} \ne - 1\\
\Delta ' > 0\\
{\left( {{x_0} + 1} \right)^2}{.2^2} - 4\left( {2{x_0} + 1} \right).2 + 8 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 1$

Vậy trên đường thẳng $y = 1$ có $4$ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán đó là các điểm có hoành độ $x = \pm 1,x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

Bài 100861

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100861

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan