Bài 100832

Question

Cho hàm số

$y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}$ (C)

$1$ . Khảo sát sự biên thiên và vẽ đồ thị hàm số. chứng tỏ rằng

$(C)$ có một tâm đối xứng

$2$ . Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ

$Oxyz$ để từ đó ta có thể vẽ được hai tiếp tuyến đến đồ thị

$(C)$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 9:11:00 AM

$1$ . Bạn đọc tự giải

$2$ . Xét điểm

$A\left( {a,b} \right)$ . Đường thẳng qua

$A$ , hệ số góc

$k$ có phương trình

$y = k\left( {x - a} \right) + b$ . Đường thẳng này là tiếp tuyến khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn

$x$ sau có nghiệm

$\left( H \right)\left\{ \begin{array}{l} x + 1 + \frac{1}{{x - 1}} = kx + b - ak \left( 1 \right)\\ 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k{\rm{ }} \left( 2 \right) \end{array} \right.$
Ta có:

$(2)$

$\Leftrightarrow x - 1 - \frac{1}{{x - 1}} = k\left( {x - 1} \right){\rm{ }}\left( {2'} \right)$

$\left( 1 \right) - \left( {2'} \right)$

$\Leftrightarrow 2 + \frac{2}{{x - 1}} = b - ak + k \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{\left( {1 - a} \right)k + b - 2}}{2}$

$\left( H \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{\left( {1 - a} \right)k + b - 2}}{2}{\rm{ }} \left( 3 \right)\\ 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k{\rm{ }}\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Hệ

$(H)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow$

$(3)$ có nghiệm thỏa mãn

$(2)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {1 - a} \right)k + b - 2 \ne 0\\ 1 - {\left| {\frac{{\left( {1 - a} \right)k + b - 2}}{2}} \right|^2} = k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k \ne 1\\ {\left[ {\left( {1 - a} \right)k + b - 2} \right]^2} + 4k - 4 = 0 = \varphi \left( k \right) \end{array} \right.$
Qua

$A(a, b)$ sẽ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc khi và chỉ khi

$\varphi \left( k \right) = {\left( {1 - a} \right)^2}{k^2} + \left[ {2\left( {1 - a} \right)\left( {b - 2} \right) + 4} \right]k + {\left( {b - 2} \right)^2} - 4$ có hai nghiệm phân biệt khác

$0$ và có tích

$=-1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \varphi \left( 1 \right) \ne 0\\ \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2} - 4}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}} = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {1 - a + b - 2} \right)^2} \ne 0\\ {\left( {1 - a} \right)^2} \ne 0\\ {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 4\\ a \ne 1\\ b \ne a + 1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow A$ nằm trên đường tròn

$(C)$ tâm

$I(1, 2)$ bán kính

$2$ , bỏ đi

$4$ giao điểm của

$(C)$ với

$2$ tiệm cận

Đáp số: Tập đường tròn

$(C)$ tâm

$I(1, 2)$ bán kính

$2$ , bỏ đi

$4$ giao điểm của

$(C)$ với

$2$ tiệm cận

Bài 100832

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100832

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan