Bài 100723

Question

$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x - 1}}\left( C \right)$
$2$. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng $y = m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $ A, B$. xác định giá trị của m để độ dài đoạn $AB$ ngắn nhất.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/24/2012 4:57:26 PM

$1$. Bạn đọc tự giải

$2$. Xét phương trình $y = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x - 1}} = m \left( 1 \right) \Leftrightarrow - {x^2} + x + 1 = m\left( {x - 1} \right)$
$\Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} - x - 1 + m\left( {x - 1} \right) = 0$
Ta có $f\left( 1 \right) = - 1,\forall m $
$\Rightarrow f\left( x \right) = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ sao cho ${x_1} < 1 < {x_2} $
$\Rightarrow \left( 1 \right)$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt.
Suy ra đường thẳng $y = m$ luôn cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$.
Vì $A\left( {{x_1},m} \right);B\left( {{x_2},m} \right)$ với ${x_1},{x_2}$là hai nghiệm của $f(x)$ nên $AB = \left| {{x_2} - {x_1}} \right| $
$\Leftrightarrow A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( { - 1 - m} \right)$
$ = {m^2} + 2m + 5$$ = {\left( {m + 1} \right)^2} + 4 \ge 4$.
Vậy $\min AB = 2$ đạt được $ \Leftrightarrow m = - 1$

Bài 100723

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100723

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan