|
|
$1$. Đường thẳng qua $A, B$ có vecto chi phương $(2, 1, - 1)$ nên có phương trình \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{{ - 1}} = t \Rightarrow x = 2t + 1,y = t - 3,z = - t\).
Đường thẳng đó cắt $(P)$ khi $t$ thỏa mãn \(\left( {2t + 1} \right) + \left( {t - 3} \right) + \left( { - t} \right) - 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{2}\)
Vậy giao điểm $I$ là \(\left( {4, - \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}} \right)\) Vì \({x_A} < {x_1} < {x_B}\) nên $I$ thuộc đoạn $AB$
$2$. Gọi $A’$ là điểm đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(P)$ ( tức là $(P)$ là mặt phẳng trung trực của $AA’$). Khi đó với mọi $M$ thuộc $(P)$ , đều có $MA – MB = MA’ – MB$.
Do $I$ thuộc đoạn $AB$ nên $A, B$ nằm về $2$ phía của $(P)$ do đó $A’, B$ nằm về cùng một phía của $(P)$. Với mọi $M$ thuộc ($P)$ thì $MA’B$ thường là một tam giác, do đó $| MA’ – MB |$\( \le A’B\) và dấu đẳng thức xảy ra khi $M, A’ , B’$ thẳng hàng và $M$ nằm ngoài đoạn $AB$.
Khi đó $M$ là giao điểm của đường thẳng $A’B$ và $(P)$ và khi đó $| MA – MB | = | MA’ – MB |$ đạt giá trị lớn nhất.
Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình \(x = t + 1,,y = t - 3,z = t\). Đường thẳng này cắt $(P)$ tại $H$ khi $t$ thỏa mãn \(\left( {t + 1} \right) + \left( {t - 3} \right) + t - 1 = 0\)
\(\Rightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {2, - 2,1} \right)\). Vì $H$ là trung điểm của $AA’$ nên $A’ ( 3, -1, 2)$.
Đường thẳng qua $B, A’$ có phương trình là \(x = 3 + t,y = - 1,z = 2 - 2t\).
Giao điểm của đường thẳng $A’B$ và $(P)$ là điểm $H(x, y, z)$ ứng với $t$ thỏa mãn: \(\left( {3 + 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( {2 - 2t} \right) - 1 = 0 \Rightarrow t = 3 \Rightarrow M\left( {6, - 1, - 4} \right)\)
|
|
|
Đăng bài 24-04-12 03:13 PM
|
|