Bài 100592

Question

$1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}\left( C \right)$
$2$. Tìm những điểm trên $(C)$ có hoành độ lớn hơn $1$ sao cho tiếp tuyến tại điểm đó tạo với $2$ đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/24/2012 2:04:06 PM

$1$. Bạn đọc tự giải:

$2$. Giả sử tiếp tuyến tại $M$$\left( {{x_0},{y_0} = \frac{{x_0^2}}{{{x_0} - 1}}} \right)$ cắt hai tiệm cận của đồ thị tại $A$ và $B$
Tiếp tuyến có phương trình $y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Rightarrow y = \frac{{x_0^2 - 2{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{x_0^2}}{{{x_0} - 1}}$
Các điểm $E, A$ và $B$ có tọa độ là $E\left( {1,2} \right);A\left( {1,\frac{{2{x_0}}}{{{x_0} - 1}}} \right);B\left( {2{x_0} - 1,2{x_0}} \right)$
Do đó $EA = \left| {{y_A} - {y_E}} \right| = \frac{2}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}};BH = \left| {{x_B} - {x_H}} \right| = 2\left| {{x_0} - 1} \right| $
$\Rightarrow \Delta EAB$ có diện tích$S = \frac{1}{2}EA.BH = 2$ (đvdt)

Mặt khác $S = \frac{1}{2}EA.EB\sin {45^0} \Rightarrow EA.EB = 2S\sqrt 2 = 4\sqrt 2$
Theo bất đẳng thức Cosi: $EA + EB \ge 2\sqrt {EA.EB} = 2\sqrt {4\sqrt 2 } = 4.\sqrt[4]{2}$
Theo định lý hàm Cosin:
$A{B^2} = E{A^2} + E{B^2} - 2EA.EB\cos {45^0}$
$ = \left( {E{A^2} + E{B^2}} \right) - 2.4.\sqrt 2 .\frac{1}{{\sqrt 2 }} \ge 2EA.EB - 8 = 8\sqrt 2 - 8$
$ \Rightarrow AB \ge \sqrt {8\sqrt 2 - 8}$
Do đó $\Delta EAB$ có chu vi bé nhất là $4.\sqrt[4]{2} + \sqrt {8\sqrt 2 - 8}$ xảy ra chỉ tại điểm $M$ có hoành độ ${x_0} = 1 + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}$

Bài 100592

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100592

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan