Bài 100561

Question

Cho hệ tọa độ $Oxyz$ trong không gian, và cho các điểm $A(a, 0, 0); B(0, a, 0); C(a, a, 0); D(0, 0, d)$. Gọi $A, B$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $O$ xuống các đường thẳng $DA$ và $DB$.
$1$. Viết phương trình mặt phẳng chứa các đường thẳng $OA’; OB’$. Chứng minh rằng mặt phẳng đó vuông góc với đường thẳng $DA$.
$2$. Tính d theo a để góc $A’OB’$ có số đo bằng ${45^0}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/24/2012 11:48:31 AM

$1$ . $A(a, 0, 0); B(0, a, 0); D(0, 0, d)$ thì $\overrightarrow {AD} = \left( { - a,0,d} \right);\overrightarrow {BD} = \left( {0, - a,d} \right)$.
Do đó $\overrightarrow {OA'}$ đồng phương với vecto $(d, 0, a)$. Vecto $\overrightarrow {OB} '$ đồng phương với vecto $(0, d, a)$. Vecto trực giao với $2$ vecto đó có phương song song với vecto $(a, a, -d)$
Vậy mặt phẳng $OA’B’$ có phương trình $ax + ay – dz = 0$
Điểm $C$ có tọa độ $(a, a, 0)$ nên $\overrightarrow {DC} = \left( {a,a, - d} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $ax + ay –dz = 0$.

$2$. $c{\rm{os}}\widehat {A'O'B'} = \frac{{|\overrightarrow {OA'} .\overrightarrow {OB'} |}}{{\overrightarrow {|OA'} |.\overrightarrow {|OB'} |}} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{d^2} + {a^2}} .\sqrt {{d^2} + {a^2}} }} = \frac{{{a^2}}}{{{d^2} + {a^2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {d^2} = \left( {\sqrt 2 - 1} \right){a^2}$
$ \Leftrightarrow d = \sqrt {\sqrt 2 - 1} .a$

Bài 100561

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100561

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan