Bài 100387

Question

Trong không gian cho hệ tọa độ Đề các vuông góc $Oxyz$ và cho các điểm $A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c); (a, b, c > 0)$. Dựng hình hộp chữ nhật nhận $O, A, B, C$ làm bốn đỉnh và gọi $D$ là đỉnh đối diện với đỉnh $O$ của hình hộp đó.
$1$. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(ABD)$
$2$. Tính tọa độ hình chiếu vuông góc của $C$ xuống mặt phẳng $(ABD)$. Tìm điều kiện đối với $a, b, c$ để hình chiếu đó nằm trong mặt phẳng $(xOy)$.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/23/2012 6:24:09 PM

$1$: $\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \left( {a,b,c} \right)$ $\Rightarrow D$ có tọa độ là $ D(a, b, c)$
Mặt phẳng $(ABD)$ qua $A(a, 0, 0)$ và có $2$ véctơ chỉ phương $ \overrightarrow {AB} = \left( { - a,b,0} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {AD} = \left( {0,b,c} \right)$ có phương trình
$\left| \begin{array}{l}
b\\
b
\end{array}    \right.{\rm{ }}\left. \begin{array}{l}
0\\
c
\end{array} \right|\left( {x - a} \right) + \left| \begin{array}{l}
0\\
c
\end{array} \right. {\rm{ }}\left. \begin{array}{l}
- a\\
    0
\end{array} \right|y + \left| \begin{array}{l}
- a\\
   0
\end{array} \right. {\rm{ }}\left. \begin{array}{l}
b\\
b
\end{array} \right|z = 0$ $\Leftrightarrow bcx + cay – abz – abc = 0$.
Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$ là $\frac{{\left| { - 2abc} \right|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} }} = \frac{{2abc}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}} }}$

$2$: Dựng $CH \bot \left( {ABD} \right)$. Đường thẳng $CH$ có vecto chỉ phương là vectơ pháp tuyến của $(ABD)$:$\mathop n\limits^ \to   = \left( {bc,ca, - ab} \right)$ nên $CH$ có phương trình$\left\{ \begin{array}{l}
x = bct\\
y = cat\\
z = c - abt
\end{array} \right.$
Thế phương trình này vào phương trình mặt phẳng $(ABD)$, ta được:
${b^2}{c^2}t + {c^2}{a^2}t + {a^2}{b^2}t - 2abc = 0 \Rightarrow t = \frac{{2abc}}{{{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}}}$.
Kí hiệu giá trị này là ${t_0},$
$H \in \left( Oxy \right) \Leftrightarrow {z_H} = 0 \Leftrightarrow c = - ab{t_0} \Leftrightarrow c = \frac{{2{a^2}{b^2}c}}{{{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}}} \Leftrightarrow {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} = {a^2}{b^2}$

Bài 100387

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100387

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan