Bài 113064

Question

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$ .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$M=3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

score 0 · Answer 1

Ta có : $M\geq (ab+bc+ca)^2+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{1-2(ab+bc+ca)}$
(do $1=a+b+c$).
Đặt $t=ab+bc+ca$, ta có: $0\leq t\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$
Xét hàm số $f(t)=t^2+3t+2\sqrt{1-2t}$ với $0\leq t\leq \frac{1}{3}$
Ta có: $f'(t)=2t+3-\frac{2}{\sqrt{1-2t}}$. Lại có :$f''(t)=2-\frac{2}{\sqrt[]{(1-2t)^3}}\leq 0$.
Dấu bằng xảy ra tại $t=0$, nên suy ra $f'(t)$là hàm số nghịch biến trên $[0;\frac{1}{3}]$.
Từ đó có $f'(t)\geq f'(\frac{1}{3})=\frac{11}{3}-2\sqrt{3}>0 \forall x\in [0;\frac{1}{3}]$.
Do đó $f(t)$ là hàm đồng biến trên $0;\frac{1}{3}$. Như thế $f(t)\geq f(0)=2 \forall t\in [0;$$\frac{1}{3}]$.
Vì thế $M\geq f(t)\geq 2 \forall t\in [0;\frac{1}{3}]; M=2\Leftrightarrow \begin{cases}ab=bc=ca \\ ab+bc+ca=0 \\a+b+c=1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow (a;b;c)$ là một trong các hệ số $(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)$.
Vậy giá trị bé nhất của $M=2$.

Bài 113064

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 113064

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan