Bài 112974

Question

Chứng minh giá trị lớn nhất trên $[a;b]$ của hàm số $y=|x^2+px+q|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $p+a+b=0$

score 0 · Answer 1

Đặt $x=t+\frac{a+b}{2}$ Ta có $x_1=a \Leftrightarrow t_1=-\frac{b-a}{2}; x_2=b \Leftrightarrow t_2=\frac{b-a}{2}$
Hàm số trở thành: $f(t)=t^2+(p+a+b)t+\frac{(a+b)^2}{4}+\frac{a+b}{2}$. Bài toán dẫn tới chứng ming giá trị lớn nhất trên $[-\frac{b-a}{2};\frac{b-a}{2}]$ của hàm số $|f(t)|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $p+a+b=0$
Ta có: $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f(t_1)-f(0)=\frac{(b-a)^2}{4}-(p+a+b)\frac{b-a}{2} }\\
{f(t_2)-f(0)=\frac{(b-a)^2}{4}-(p+a+b)\frac{b-a}{2}}
\end{array}} \right.$
$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{|f(t_1)-f(0)|\geq |\frac{(b-a)^2}{4}-(p+a+b)\frac{b-a}{2}| }\\
{|f(t_2)-f(0)|\geq |\frac{(b-a)^2}{4}-(p+a+b)\frac{b-a}{2}|}
\end{array}} \right.$
$\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{|f(t_1)|+|f(0)|> \frac{(b-a)^2}{4} nếu p+a+b>0    (1)}\\
{|f(t_2)|+|f(0)|>\frac{(b-a)^2}{4}   nếu p+a+b>0     (2)}\\
{|f(t_1)|+|f(0)|=|f(t_2)|+|f(0)|=\frac{(b-a)^2}{2} nếu p+a+b=0    (3)}
\end{array}} \right.$
Gọi $\alpha$ là gía trị nhỏ nhất ( nếu có) của $\mathop {\max}\limits_{[-\frac{b-a}{2},\frac{b-a}{2} ]} |f(t)|$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $\alpha$ tồn tại khi $p+a+b=0$ ( khi đó $\alpha=\frac{(b-a)^2}{4}$)

Bài 112974

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112974

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan