Bài 112846

Question

Cho hai số tự nhiên $p$ và $q$ khác 0 sao cho tổng $p+q = a$ với $a$ là 1 số tự nhiên đã biết. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P_pP_q$

score 0 · Answer 1

Ta có :
      $ m = P_p.P_q = p!q!$
Vì biểu thức m có tính đối xứng với $p$ và $q$ nên ta có thể giả sử $p \leq q$
      $ \Rightarrow 2p \leq p + q = a$
* Nếu $a$ chẵn, ta có : $p \leq \frac{a}{2}.$
* Nếu $a$ lẻ, ta có : $p \leq \frac{a-1}{2}.$
Do đó :
      $ C^p_{p+q} = C^p_a = \frac{(p+q)!}{p!q!} = \frac{a!}{p!q!} \Rightarrow p!q! = \frac{a!}{C^p_a} \Rightarrow m = \frac{a!}{C^p_a}$.
Suy ra :
* $m$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $C^p_a$ lớn nhất, khi đó :
      $ q = p = \frac{a}{2}, $ nếu $a$ chẵn $ \Rightarrow m_{min} = \left [ \left ( \frac{a}{2} \right )! \right ]^2$
      $ p = \frac{a-1}{2}, $ nếu $a$ lẻ $ \Rightarrow m_{min} = \left ( \frac{a-1}{2} \right )!\left ( \frac{a+1}{2} \right )!$
* $m$ lớn nhất khi $C^p_a$ nhỏ nhất $ \Leftrightarrow p = 1 \Leftrightarrow C^p_a = C^1_a = a$
Vậy, ta được $ m_{max} = \frac{a!}{a} = (a-1)!$

Bài 112846

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112846

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan