Bài 112728

Question

Tìm họ nguyên hàm của hàm số : $f(x)= \frac{\sin x}{1+\sin 2x} $

score 0 · Answer 1

Xét : $F(x)=\int\limits \frac{\sin x}{1+\sin 2x}dx=\frac{1}{2}\int\limits \frac{(\sin x+\cos x)-(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)^2}dx $
$=\frac{1}{2}\int\limits \frac{dx}{\sin x+\cos x}-\frac{1}{2}\int\limits \frac{(\cos x-\sin x)dx}{(\sin x+\cos x)^2}    $
Tính : $I_1= \frac{1}{2}\int\limits \frac{dx}{\sin x+\cos x} $.Đặt $t=\tan \frac{x}{2} \Rightarrow dx=\frac{2dt}{1+t^2}; \sin x+\cos x=\frac{-t^2+2t+1}{1+t^2} $
Lúc đó : $I_1 =\frac{1}{2}\int\limits \frac{2dt}{-t^2+2t+1}=\frac{1}{4 {\sqrt{2}} }\int\limits (\frac{1}{t-1- {\sqrt{2}} }- \frac{1}{t-1+ {\sqrt{2}} } )dt   $
$ \Rightarrow {I_1} = \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{t - 1 - \sqrt 2 }}{{t - 1 + \sqrt 2 }}} \right| + {C_1} = \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\tan \frac{x}{2} - 1 - \sqrt 2 }}{{\tan \frac{x}{2} - 1 + \sqrt 2 }}} \right| + {C_1}\,\,(1)$
Tính : $I_2=\frac{1}{2}\int\limits \frac{(\cos x-\sin x)dx}{(\sin+\cos x)^2}=\frac{1}{2} \int\limits \frac{d(\cos x+\sin x)}{(\cos x+\sin x)^2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sin x+\cos x}+C_2 (2)     $
Từ $(1) và (2) $ :
$F(x)= \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\tan \frac{x}{2} - 1 - \sqrt 2 }}{{\tan \frac{x}{2} - 1 + \sqrt 2 }}} \right|+\frac{1}{2}\frac{1}{\sin x+\cos x}+ C(ycbt)   $
Trong đó $C=C_1-C_2 :$ là hằng số tùy ý

Bài 112728

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112728

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan