1.Khái niệm nguyên hàm
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F′(x)=f(x) với mọi x thuộc K.
CHÚ Ý
1)Trong trường hợp K=[a;b] , các đẳng thứcF′(a)=f(a), F′(b)=f(b) được hiểu là
limx→a+F(x)−F(a)x−a=f(a) và limx→b−F(x)−F(b)x−b=f(b)
2) Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b] . Nếu F là nguyên hàm của f trên khoảngf(x)=1cos2x (a ;b ) thì có thể chứng minh được rằngF′(a)=f(a) và F′(b)=f(b) , do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b].
Ví dụ
a) Hàm số F(x)=x33là nguyên hàm của hàm số f(x)=x2 trên R vì (x33)′=x2 với mọi x∈R.
b) Hàm sốF(x)=tanx là nguyên hàm của hàm số trên khoảng (−π2;π2) vì (tanx)′=1cos2x với mọi x∈(−π2;π2).
ĐỊNH LÍ 1
Gỉa sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K khi đó
a)Với mỗi hằng số C, hàm số y=F(x)+Ccũng là một nguyên hàm của f trên K.
b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x)=F(x)+C với mọi x thuộc K.
2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm. Việc tìm nguyên hàm của một số thường được đưa về tìm nguyên hàm của các hàm số đơn giản hơn. Sau đây là nguyên hàm của một số hàm số đơn giản thường gặp.
1)∫0dx=C,∫dx=x+C2)∫xαdx=xα+1α+1+C(α≠±1)3)∫1xdx=ln|x|
4)Với k là hằng số khác 0
a)∫sinkxdx=−coskxk+Cb)∫coskxdx=sinkxk+Cc)∫ekxdx=ekxk+Cd)∫axdx=axlna+C(0<a≠1)
5)a)∫1cos2xdx=tanx+Cb)∫1sin2xdx=−cotx+C
Ta dễ dàng chứng minh các công thức trên bằng cách tính đạo hàm vế phải
3. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
ĐỊNH LÍ 2
Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì
a) ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
b) Với mọi số thực k≠0 ta có
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
Dựa vào nguyên hàm của cá hàm số thường gặp và vận dụng hai định lí trên ta có thể tính được nguyên hàm của nhiều hàm số khác
|