1. Phương pháp đổi biến số
ĐỊNH LÍ
Cho hàm số $u = u\left( x \right)$có đạo hàm liên tục trên $K$ và hàm số $y = f\left( u \right)$liên tục sao cho $f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ xác định trên $K$. Khi đó nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$, tức là
$\int {f(u)du = F(u) + C} $ thì:
$\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]} u'\left( x \right)dx = F\left[ {u\left( x \right)} \right] + C$ (1)
CHÚ Ý
Trong thực hành, ta thường viết tắt $F\left[ {u\left( x \right)} \right]$ là $F\left( u \right)$,$f\left[ {u\left( x \right)} \right]$ là $f\left( u \right)$ và coi du là vi phân của hàm số$u = u\left( x \right)$( nghĩa là $du = du\left( x \right) = u'\left( x \right)dx$)
Khi đó, công thức(1) được viết như sau
$\begin{gathered}
\int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]} u'\left( x \right)dx = \int {f\left[ {u\left( x \right)} \right]} du\left( x \right) = \int {f\left( u \right)} du \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = F\left( u \right) + C = F\left[ {u\left( x \right)} \right] + C \\
\end{gathered} $ (2)
Ví dụ. Tìm ${\int {\left( {2x + 1} \right)} ^4}dx$.
Giải: Ta có ${\left( {2x + 1} \right)^4}dx = \frac{1}{2}{\left( {2x + 1} \right)^4}\left( {2x + 1} \right)'dx = \frac{1}{2}{\left( {2x + 1} \right)^4}d\left( {2x + 1} \right)$
Đặt$u = u\left( x \right) = 2x + 1$. Áp dụng công thức (2), ta có
$\begin{gathered}
{\int {\left( {2x + 1} \right)} ^4}dx = \int {\frac{1}{2}} {\left( {2x + 1} \right)^4}d\left( {2x + 1} \right) = \int {\frac{1}{2}} {u^4}du = \frac{1}{2}\int {{u^4}du} . \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.\frac{1}{5}{u^5} + C = \frac{1}{{10}}{\left( {2x + 1} \right)^5} + C \\
\end{gathered} $
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
ĐỊNH LÍ 2
Nếu $u, v$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên $K$ thì
$\int {u\left( x \right)} v'\left( x \right)dx = u\left( x \right)v\left( x \right) - \int {v\left( x \right)} u'\left( x \right)dx$
Công thức trên gọi là công thức lấy nguyên hàm từng phần (gọi tắt là công thức nguyên hàm từng phần) và được viết gọn dưới dạng
$\int u dv = uv - \int v du$
Ví dụ .Tìm $\int {x\cos xdx} $
Giải
Đặt$u\left( x \right) = x$, $v'\left( x \right) = \cos x$ Khi đó $u'\left( x \right) = 1,\,\,v\left( x \right) = \sin x$ (chỉ cần lấy một nguyên hàm của v’). Theo công thức nguyên hàm từng phân , ta có
$\int {x\cos xdx = x\sin x - \int {\sin {\text{x}}dx = x\sin x + \cos x + C} } $