Bài 112558

Question

Cho điểm $M(4;6)$. Viết phương trình của đường thẳng đi qua $M$ và cắt các trục $Ox,Oy$ theo thứ tự tại $A(a;0)$ và $B(0;b)$ với $a,b>0$ sao cho:
a) Diện tích tam giác $OAB$ bằng $60$
b) $M$ là trung điểm của $AB$
c) Diện tích tam giác $OAB$ bé nhất

Thu Hằng · Answer 1 · 7/19/2012 3:30:48 PM

Phương trình của đường thẳng đi qua $A(a;0),B(0;b)$ có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ vì phương trình đi qua điểm $M(4;6)$ nên $\frac{4}{a}+\frac{6}{b}=1 \Leftrightarrow 6a+4b=ab$

a) $S_{OAB}=60 \Leftrightarrow ab=120 \Leftrightarrow b=\frac{120}{a}$
Do đó: $6a+4b=120 \Leftrightarrow 3a+2b=60$
$ \Leftrightarrow 3a+2 \frac{120}{a} =60 \Leftrightarrow 3a^2-60a+240=0 \Leftrightarrow a^2-20a+80=0$
$ \Leftrightarrow a_1=2(5+\sqrt{5 });a_2=2(5-\sqrt{ 5})$
Từ đó suy ra: $b_1=3(5-\sqrt{5 })$ và $b_2=3(5+\sqrt{ 5})$
Ta nhận được hai đường thẳng thỏa mãn điều kiện:
$d_1:\frac{x}{2(5+\sqrt{ 5}) }+\frac{y}{3(5-\sqrt{ 5}) }=1$
$ d_2: \frac{x}{2(5-\sqrt{ 5} )}+\frac{y}{3(5+\sqrt{ 5} )}=1$

b) $M(4;6)$ là trung điểm của $A(a;0)$ và $B(0;b)$ nên:
$\frac{a+0}{2}=4,\frac{0+b}{2}=6 \Leftrightarrow a=8;b=12$
Vậy phương trình: $\frac{x}{8}+\frac{y}{12}=1$

c) Ta có $S=\frac{1}{2} ab$. Ta tìm $a,b>0$ thỏa mãn $6a+4b=ab$ sao cho tích $ab$ bé nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
$ab=6a+4b \geq 2\sqrt{6a.4b } =4\sqrt{ 6}.\sqrt{ ab} \Rightarrow \sqrt{ ab} \ge 4\sqrt{ 6} \Rightarrow ab \geq 96$
Vậy $ab$ nhỏ nhất bằng $96 \Leftrightarrow 6a=4b=\frac{96}{2}=48 \Leftrightarrow a=8;b=12$
Vậy diện tích tam giác $OAB$ bé nhất khi $M$ là trung điểm của $AB$ (theo câu b).

Bài 112558

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112558

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan