Bài 107316

Question

Cho hai đường thẳng $d_1 :2x-y+1=0; d_2 :x+2y-7=0$. Lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ, sao cho đường thẳng $d$ tạo với $d_1;d_2$ một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của $d_1;d_2$. Tính diện tích tam giác cân đó

score 0 · Answer 1

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ là $ax+by=0$.Gọi $\alpha$ là góc hợp bởi $d;d_1$ cũng là góc hợp bởi $d;d_2$ (Vì $d$ tạo với $d_1;d_2$ một tam giác cân đỉnh $I=d_1\cap d_2$)
Ta có :
$\cos\alpha=\frac{|2a-b|}{\sqrt{5(a^2+b^2)} } =\frac{|a+2b|}{\sqrt{5(a^2+b^2)} } $
$\Leftrightarrow 2a-b=\pm (a+2b)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =3b\\3a =-b\end{array} \right. $
Vậy có hai đường $d;d'$ tạo với $d_1;d_2$ một tam giác cân là :
$d' : 3x+y=0; d: x-3y=0$
Gọi $A=d\cap d_1$ thì tọa độ của $A$ là nghiệm của hệ
$\begin{cases}x-3y=0 \\ 2x-y+1=0 \end{cases} \Rightarrow 6y-y+1=0\Rightarrow y=-\frac{1}{5} \Rightarrow \begin{cases}x=-\frac{3}{5} \\ y=-\frac{1}{5} \end{cases} $
Gọi $A'=d'\cap d_1$ thì tọa độ của $A' $ là nghiệm của hệ :
$\begin{cases}3x+y=0 \\ 2x-y+1=0 \end{cases} \Rightarrow 2x+3x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{5}\Rightarrow \begin{cases}x=-\frac{1}{5} \\ y=\frac{3}{5} \end{cases} $
Gọi $I$ là giao điểm của $d_1;d_2\Rightarrow I(1;3)$
Do $d_1\bot d_2$ nên :
$S_{AIB}=\frac{1}{2} IA^2=\frac{1}{2} [(1+\frac{3}{5} )^2+(3+\frac{3}{5} )^2]=\frac{32}{5} $
$S_{A'I'B'}=\frac{1}{2} (IA)^2=\frac{1}{2} [(1+\frac{1}{5} )^2+(3-\frac{3}{5} )^2]=\frac{36}{5} $

Bài 107316

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107316

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan