|
|
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
- Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0}) $ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u (a;b;c) \ne 0 $.
Khi đó ta có phương trình tham số của đường thẳng d là:
$\left\{ \begin{gathered}
x = {x_0} + at \\
y = {y_0} + bt \\
z = {z_0} + ct \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,t \in R $ (1)
Ngược lại, mỗi phương trình dạng (1) với ${a^2} + {b^2} + {c^2} > 0 $ đều là phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm $({x_0};{y_0};{z_0}) $ và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow u (a;b;c) $
Trong trường hợp $abc \ne 0 $, khử t từ hệ (1) ta được:
$\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c} $; với $abc \ne 0 $ (2)
Hệ (2) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d
2. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
Trong không gian, cho đường thẳng d đi qua điểm ${M_0} $, có vecto chỉ phương $\overrightarrow u $ và đường thẳng d’ đi qua điểm $M{'_0} $ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow {u'} $ . Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng d và d’:
a) d và d’ trùng nhau khi và chỉ khi 3 vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {{M_o}M{'_0}} $ đôi một cùng phương
$ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_o}M{'_0}} } \right] = \overrightarrow 0 $
b) d và d’ song song khi và chỉ khi $\overrightarrow u $, $\overrightarrow {u'} $ cùng phương nhưng không cùng phương với $\overrightarrow {{M_o}M{'_0}} $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_o}M{'_0}} } \right] \neq \overrightarrow 0 \\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]=\overrightarrow{0}
\end{gathered} \right. $
c) d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow u $, $\overrightarrow {u'} $ không cùng phương, đồng thời 3 vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {{M_o}M{'_0}} $ đồng phẳng
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne 0 \\
\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{M_o}M{'_0}} = 0 \\
\end{gathered} \right. $
d) d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {{M_o}M{'_0}} $ không đồng phẳng $ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{M_o}M{'_0}} \ne 0 $
3. Một số bài toán về tính khoảng cách
Bài toán 1: Tính khoảng cách h từ 1 điểm M đến đường thẳng d đi qua điểm ${M_0} $ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u $
Cách giải:
Gọi U là điểm sao cho $\overrightarrow {{M_0}U} = \overrightarrow u $
Nếu M không thuộc d thì diện tích S của hình bình hành có 2 cạnh ${M_0}M\& {M_0}U $ là : $S = \left| {\left[ {\overrightarrow {{M_0}M} ,\overrightarrow {{M_0}U} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {{M_0}M} ,\overrightarrow u } \right]} \right| $
Vì khoảng cách h cần tìm là chiều cao của hình bình hành ứng với cạnh ${M_0}U $ nên: $h = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_0}M} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} $
Bài toán 2: Tính khoảng cách h giữa 2 đường thẳng chéo nhau ${d_1}\& {d_2} $ biết ${d_1} $ đi qua điểm ${M_1} $ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} $; ${d_2} $ đi qua điểm ${M_2} $ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} $
Cách giải:
Lấy các điểm ${U_1}\& {U_2} $ sao cho $\overrightarrow {{M_1}{U_1}} = \overrightarrow {{u_1}} $, $\overrightarrow {{M_2}{U_2}} = \overrightarrow {{u_2}} $. Xét hình hộp có 3 cạnh là ${M_1}{U_1},{M_2}{U_2},{M_1}{M_2} $, có thể tích: $V = {\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|} $
Khoảng cách h giữa 2 đường thẳng ${d_1}\& {d_2} $ chính là chiểu cao của hình hộp: $h = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} $
|