Bài 112563

Question

Cho hàm số $y=\frac{-x+1}{2x-1} $.
Chứng minh rằng với mọi $m$, đường thẳng $y=x+m$ luôn cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Gọi $k_1, k_2$ lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và $B$. Tìm $m$ để tổng $k_1+k_2$ đạt giá trị lớn nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/19/2012 3:09:38 PM

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $d$ là: $\frac{-x+1}{2x-1}=x+m\Leftrightarrow (2x-1)(x+m)=-x+1 $ ($x=\frac1{}{2}$ không là nghiệm) $\Leftrightarrow 2x^2+2mx-(m+1)=0 (1)$
Phương trình $(1)$ có $\Delta =m^2+2m+2=(m+1)^2+1>0, \forall m \in R$ nên $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt, do đó $d$ luôn cắt $(C)$ tại hai điểm $A, B$. Hoành độ tiếp điểm $x_1, x_2$ (tại $A, B$) là nghiệm của phương trình $(1)$, suy ra:
$x_1+x_2=-m$ và $x_1.x_2=-\frac{m+1}{2} $
Ta có: $k_1+k_2=-\frac{1}{(2x_1-1)^2}-\frac{1}{(2x_2-1)^2}=-\frac{4(x^2_1+x^2_2)-4(x_1+x_2)+2}{[4x_1x_2-2(x_1+x_2)+1]^2} $
$=-(4m^2+8m+6)=-4(m+1)^2-2$
Vậy $k_1+k_2$ đạt giá trị lớn nhất bằng $-2$, điều này xảy ra khi $m=-1$

Bài 112563

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112563

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan