Bài 112301

Question

Cho điểm $M(2a;0)$ và Elip $(E)$có phương trình: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
a. Chứng minh rằng qua $M$ có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến $(E)$.
b. Xác định phương trình hai tiếp tuyến và lập phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của $(E)$ với hai tiếp tuyến trên.

score 0 · Answer 1

Giải
a. Nhận xét rằng:
$P_{M/(E)}=\frac{(2a^2)}{a^2}=4>1\Rightarrow M$ nằm ngoài Elip
Suy ra qua $M$ kẻ được hai tiếp tuyến đến $(E)$.
b. Gọi tọa độ của tiếp điểm $T(x_1,y_1)$, ta có:
+ Điểm $T(x_1,y_1)$ thuộc $(E)$ nên: $\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1                                    (1)$
+ Tiếp tuyến của Elip $(E)$ tại $T(x_1,y_1)$ có dạng: $\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1       (*)$
+ Tiếp tuyến trên đi qua điểm $M(2a,0)$, ta có: $\frac{2ax_1}{a^2}=1\Leftrightarrow 2x_1-a=0                (2)$
$\Leftrightarrow x_1=\frac{a}{2}                                         (3)$
+ Nhận tấy $T_1,T_2$ đều thỏa mãn (2), vậy phương trình đường thẳng $(T_1T_2)$ có dạng:
$(T_1T_2):2x-a=0$
Thay (3) vào (1), ta được: $\frac{1}{4}+\frac{y_1^2}{b^2}=1\Leftrightarrow y_1^2=\frac{3b^2}{4}\Leftrightarrow y_1=\pm\frac{b}{2\sqrt{3}}$
Ta lần lượt:
+ Với $y_1=\frac{b}{2\sqrt{3}} $, thay vào (*) ta được:
$(d_1):\frac{x}{2a}+\frac{\sqrt{3}y}{2b}=1\Leftrightarrow (d_1):bx+a\sqrt{3}y-2ab=0$
+ Với $y_1=-\frac{b}{2\sqrt{3}} $, thay vào (*) ta được:
$(d_2):\frac{x}{2a}-\frac{\sqrt{3}y}{2b}=1\Leftrightarrow (d_2):bx-a\sqrt{3}y-2ab=0$

Bài 112301

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112301

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan