Bài 112301

Question

Cho điểm

$M(2a;0)$ và Elip

$(E)$ có phương trình:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
a. Chứng minh rằng qua

$M$ có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến

$(E)$ .
b. Xác định phương trình hai tiếp tuyến và lập phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của

$(E)$ với hai tiếp tuyến trên.

score 0 · Answer 1

Giải
a. Nhận xét rằng:

$P_{M/(E)}=\frac{(2a^2)}{a^2}=4>1\Rightarrow M$ nằm ngoài Elip
Suy ra qua

$M$ kẻ được hai tiếp tuyến đến

$(E)$ .
b. Gọi tọa độ của tiếp điểm

$T(x_1,y_1)$ , ta có:
+ Điểm

$T(x_1,y_1)$ thuộc

$(E)$ nên:

$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1 (1)$
+ Tiếp tuyến của Elip

$(E)$ tại

$T(x_1,y_1)$ có dạng:

$\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1 (*)$
+ Tiếp tuyến trên đi qua điểm

$M(2a,0)$ , ta có:

$\frac{2ax_1}{a^2}=1\Leftrightarrow 2x_1-a=0 (2)$

$\Leftrightarrow x_1=\frac{a}{2} (3)$
+ Nhận tấy

$T_1,T_2$ đều thỏa mãn (2), vậy phương trình đường thẳng

$(T_1T_2)$ có dạng:

$(T_1T_2):2x-a=0$
Thay (3) vào (1), ta được:

$\frac{1}{4}+\frac{y_1^2}{b^2}=1\Leftrightarrow y_1^2=\frac{3b^2}{4}\Leftrightarrow y_1=\pm\frac{b}{2\sqrt{3}}$
Ta lần lượt:
+ Với

$y_1=\frac{b}{2\sqrt{3}}$ , thay vào (*) ta được:

$(d_1):\frac{x}{2a}+\frac{\sqrt{3}y}{2b}=1\Leftrightarrow (d_1):bx+a\sqrt{3}y-2ab=0$
+ Với

$y_1=-\frac{b}{2\sqrt{3}}$ , thay vào (*) ta được:

$(d_2):\frac{x}{2a}-\frac{\sqrt{3}y}{2b}=1\Leftrightarrow (d_2):bx-a\sqrt{3}y-2ab=0$

1 Đáp án