Bài 112277

Question

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm $f(x)$ trên $D=[3;4]$
$f(x)=\sqrt{4x^2-28x+53}+\sqrt{4x^2-12x+13}$

score 0 · Answer 1

a) Giá trị nhỏ nhất
Viết lại $(1) \Leftrightarrow f(x)=\sqrt{(2x-7)^2+2^2}+\sqrt{(2x-3)^2+2^2}$
Rõ ràng hàm số có tập xác định $R$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét các vecto $\overrightarrow u=(2x-7;2)$
$\overrightarrow v=(3-2x;2).$ Sẽ có $|\overrightarrow u+\overrightarrow v|=\sqrt{(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}, |\overrightarrow u|=\sqrt{4x^2-28x+53}$
$|\overrightarrow v|=\sqrt{x^2-12x+13}$. và $y=|\overrightarrow u|+|\overrightarrow v|$. Với $\forall \overrightarrow u, \overrightarrow v$ luôn có $ |\overrightarrow u|+|\overrightarrow v| \geq |\overrightarrow u+\overrightarrow v|$ hay $y \geq |\overrightarrow u+\overrightarrow v|$, dấu đẳng thức có khi $\overrightarrow u, \overrightarrow v$ cùng hướng $\Leftrightarrow \frac{2x-7}{2}=\frac{3-2x}{2} >0$
$\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$. Suy ra $\mathop {\min}\limits_{R} f(x)=f(\frac{5}{2})=4\sqrt{2}$
b) Giá trị lớn nhất
Gọi $f_1(x)=(2x-7)^2+4,f_2(x)=(2x-3)^2+4$
Hệ số của $x^2$ của hai parabol đều dương
* Suy ra: $\mathop {\max}\limits_{D}f_1(x)=\max\left\{ {f_1(3);f_1(4)} \right\},\mathop {\max}\limits_{D}f_2(x)=\max\left\{ {f_2(3);f_2(4)} \right\} $
Ta có: $f_1(3)=f_1(4)=5; f_2(3)=4;f_2(4)=29$
* $\mathop {\max}\limits_{D}f(x)=\max\left\{ {\sqrt{f_1(3)}+\sqrt{f_2(3)};\sqrt{f_1(4)}+\sqrt{f_2(4)}} \right\} $
$=\max \left\{ {\sqrt{5}+2;\sqrt{5}+\sqrt{29}} \right\}=\sqrt{5}+\sqrt{29}$
Vậy $\mathop {\max}\limits_{D}f_(4)=\sqrt{5}+\sqrt{29}$

Bài 112277

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112277

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan