Bài 112276

Question

Cho $x,y,z$ là ba số thực dương và $x+y+z \leq 1$. Chứng minh
$Q=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \sqrt{82}$

score 0 · Answer 1

Gọi $\overrightarrow a =(x;\frac{1}{x});\overrightarrow b=(y;\frac{1}{y}); \overrightarrow c=(z;\frac{1}{z}) \Rightarrow \overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c=(x+y+z;\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Ta có: $|\overrightarrow a|+|\overrightarrow b|+|\overrightarrow c|$ Hay $Q \geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}$
$\Leftrightarrow Q^2 \geq (x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 $
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\overrightarrow a, \overrightarrow b, \overrightarrow c$ cùng hướng
Theo Cô-si ta có: $Q^2 \geq (x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 \geq 9(\sqrt[3]{(xyz)^2}+\frac{1}{\sqrt[3]{(xyz)^2}}) $
$=(9\sqrt[3]{(xyz)^2}+\frac{1}{9\sqrt[3]{(xyz)^2}})+\frac{80}{(\sqrt[3]{xyz})^2} \geq 2+\frac{80}{(x+y+z)^2}=2+80=82$
Dấu đẳng thức trong các đánh giá trên đồng thời có khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Vậy $Q \geq \sqrt{82}$ (đpcm)

Bài 112276

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112276

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan