Bài 112096

Question

Cho

$f : [0;1] \rightarrow [1;2]$ liên tục trên

$[0;1]$ thỏa :

$\int\limits_{0}^{1}f(x)dx = \frac{3}{2}.$
Chứng minh rằng :

$\frac{2}{3} \leq \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)} < \frac{3}{4}.$

score 0 · Answer 1

Trước hết ta nhận thấy rằng :

$1 \leq f(x) \leq 2 , \forall x \in [0;1]$

$\Rightarrow \frac{1}{f(x)} \geq \frac{1}{2} , \forall x \in [0;1] \Rightarrow \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)} \geq \frac{1}{2} , \forall x \in [0;1]$
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski:

$1 = \left ( \int\limits_{0}^{1} \sqrt{f(x)}. \frac{1}{\sqrt{f(x)} }dx \right )^2 \leq \int\limits_{0}^{1} f(x)dx . \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)} = \frac{3}{2} \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}$

$\Rightarrow \frac{2}{3} \leq \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}$
Măt khác, ta có :

$[f(x) - 1].[f(x)-2] \leq 0 , \forall x \in [0;1]$

$\Rightarrow [f(x)]^2 - 3f(x) + 2 \leq 0 , \forall x \in [0;1]$

$\Rightarrow f(x) + \frac{2}{f(x)} \leq 3, \forall x \in [0;1]$
Để ý rằng dấu

$"="$ không thể xảy ra với mọi

$x \in [0;1]$ . Quả vậy, nếu dấu

$"="$ xảy ra với mọi

$x \in [0;1]$ thì

$f \equiv 1$ hoặc

$f \equiv 2$
Bởi vậy nếu có

$x_1, x_2 \in [0;1]$ sao cho

$f(x_1) =1 và f(x_2) = 2$ thì có

$x_3 \in [0;1]$ để

$f(x_3) = \frac{3}{2},$ mâu thuẫn.
Do vậy chỉ có thể :
* Hoặc

$f(x) =1 , \forall x \in [0;1] \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}f(x)dx =1$ ( mâu thuẫn)
* Hoặc

$f(x) =2 , \forall x \in [0;1] \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}f(x)dx = 2$ ( mâu thuẫn )
Thành thử , ta đi đến kết luận :

$f(x) = \frac{2}{f(x)} < 3 , \forall x \in [0;1]$

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1} f(x)dx + 2 \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)} < 3 \Rightarrow \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)} <\frac{3}{4}$
Tóm lại :

$\frac{2}{3} \leq \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)} <\frac{3}{4}$

Bài 112096

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112096

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan