Bài 102367

Question

Chứng minh $\frac{\sqrt{3}}{4}\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{sinx}{x}dx<\frac{1}{2}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/2/2012 4:52:56 PM

Xét $f\left( x \right) = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x}$ với $0 < x < \frac{\pi }{2}$. Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{x\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{{x^2}}} = \frac{{c{\rm{os}}x}}{{{x^2}}}.\left( {x - tgx} \right) < 0 \forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$
$ \Rightarrow f\left( x \right)$ nghịch biến trong khoảng này.
Do đó $f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) \le f\left( x \right) \le f\left( {\frac{\pi }{6}} \right),\forall x \in \left[ {\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}} \right]$ $ \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{3}{\pi } \le \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x} \le \frac{1}{2}.\frac{6}{\pi },\forall x \in \left[ {\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}} \right]$$ \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{3}{\pi }\int\limits_{\pi /6}^{\pi /3} {dx} < \int\limits_{\pi /6}^{\pi /3} {\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x}dx} < \frac{1}{2}.\frac{6}{\pi }.\int\limits_{\pi /6}^{\pi /3} {dx} $
$\Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{3}{\pi }.\frac{\pi }{6} < \int\limits_{\pi /6}^{\pi /3} {\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x}dx} < \frac{1}{2}.\frac{6}{\pi }.\frac{\pi }{6} \Rightarrow $ đpcm

Bài 102367

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102367

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan